Questão 2. Seja a função
f(x)=x^{2}-4 x+3
no intervalo [1,3].
Verifique se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e, em caso afirmativo, determine o(s) valor(es) de c. Aplique também o Teorema do Valor Médio nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função \,f(x)=x^{2}-4x+3\,.
  • O intervalo [1,3].
    O que é pedido:
  • Verificar se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [1,3] e, se sim, encontrar o(s) valor(es) de c garantido(s) por Rolle.
  • Aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) no mesmo intervalo e indicar o(s) c que o TVM garante.

Passo 2

Relembrando (de forma prática) as hipóteses que precisamos checar para usar Rolle:
  • A função deve ser contínua em [1,3].
  • A função deve ser diferenciável em (1,3).
  • Deve valer \,f(1)=f(3).
Agora vamos checar cada ponto, explicando o porquê.
  1. Continuidade em [1,3]: \,f(x)=x^{2}-4x+3\, é um polinômio (grau 2). Propriedade importante (útil em prova): todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Portanto f é contínua em [1,3].
  2. Diferenciabilidade em (1,3): todo polinômio é também diferenciável em todo \mathbb{R}. Logo f é diferenciável em (1,3).
  3. Valores nos extremos: vamos calcular \,f(1) e \,f(3) passo a passo.
Calcular \,f(1):
f(1)=1^{2}-4\cdot1+3=1-4+3=0.
Calcular \,f(3):
f(3)=3^{2}-4\cdot3+3=9-12+3=0.
Concluímos que \,f(1)=0=f(3). Assim, todas as hipóteses de Rolle estão satisfeitas no intervalo [1,3].

Passo 3

Rolle garante a existência de pelo menos um c\in(1,3) tal que \,f'\text{(c)}=0. Então precisamos:
  • calcular a derivada f'(x),
  • resolver f'\text{(c)}=0.
Calcular a derivada (explicando a regra usada): a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -4x é -4; a derivada de constante 3 é 0. Portanto
f'(x)=2x-4.
Resolver f'\text{(c)}=0:
2c-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2c=4 \quad\Rightarrow\quad c=2.
Verificação final: c=2 pertence ao intervalo aberto (1,3). Então existe exatamente (neste caso) um ponto c\in(1,3) com f'\text{(c)}=0, e é c=2. (Como comentário: aqui a derivada é uma função linear com uma única raiz, por isso o ponto é único.)

Passo 4

Agora o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos lembrar a forma prática do TVM:
  • Se f é contínua em [1,3] e diferenciável em (1,3), então existe c\in(1,3) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}.
Já checamos continuidade e diferenciabilidade (são verdadeiras para f). Calculamos antes f(1)=f(3)=0. Então o coeficiente angular da secante é
\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{0-0}{2}=0.
O TVM garante então que existe c\in(1,3) com
f'\text{(c)}=0.
Como já resolvemos a equação f'(x)=2x-4=0 e obtivemos x=2, concluímos que o c fornecido pelo TVM também é c=2.
Interpretação geométrica curta (útil em prova): a reta secante que une os pontos (1,f(1)) e (3,f(3)) tem inclinação zero (é horizontal), e o TVM afirma que existe pelo menos uma reta tangente à curva, em algum ponto interno, com a mesma inclinação — aqui essa tangente horizontal ocorre em x=2.

Passo 5

Resumo do procedimento que vale para questões semelhantes na prova:
  • Verifique continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b). Para polinômios isso é automático.
  • Para Rolle, verifique ainda f(a)=f(b). Se igual, calcule f'(x) e resolva f'(x)=0 para achar os pontos c.
  • Para o TVM, calcule a razão \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} e resolva f'(x)= essa razão; qualquer solução interior (a,b) é o c garantido.

Resposta

Rolle: hipóteses satisfeitas; c=2
Teorema do Valor Médio: hipóteses satisfeitas; c=2

Exercícios relacionados