Questão 2. Seja a função
no intervalo
.
Verifique se
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e, em caso afirmativo, determine o(s) valor(es) de
. Aplique também o Teorema do Valor Médio nesse intervalo.
Verifique se
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função
. - O intervalo
.
O que é pedido: - Verificar se
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo e, se sim, encontrar o(s) valor(es) de garantido(s) por Rolle. - Aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) no mesmo intervalo e indicar o(s)
que o TVM garante.
Passo 2
Relembrando (de forma prática) as hipóteses que precisamos checar para usar Rolle:
- A função deve ser contínua em
. - A função deve ser diferenciável em
. - Deve valer
.
Agora vamos checar cada ponto, explicando o porquê.
-
Continuidade em
: é um polinômio (grau 2). Propriedade importante (útil em prova): todo polinômio é contínuo em todo . Portanto é contínua em . -
Diferenciabilidade em
: todo polinômio é também diferenciável em todo . Logo é diferenciável em . -
Valores nos extremos: vamos calcular
e passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Concluímos que
. Assim, todas as hipóteses de Rolle estão satisfeitas no intervalo
.
Passo 3
Rolle garante a existência de pelo menos um
tal que
. Então precisamos:
- calcular a derivada
, - resolver
.
Calcular a derivada (explicando a regra usada): a derivada de
é
e a derivada de
é
; a derivada de constante
é
. Portanto
Resolver
:
Verificação final:
pertence ao intervalo aberto
. Então existe exatamente (neste caso) um ponto
com
, e é
. (Como comentário: aqui a derivada é uma função linear com uma única raiz, por isso o ponto é único.)
Passo 4
Agora o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos lembrar a forma prática do TVM:
- Se
é contínua em e diferenciável em , então existe tal que
Já checamos continuidade e diferenciabilidade (são verdadeiras para
). Calculamos antes
. Então o coeficiente angular da secante é
O TVM garante então que existe
com
Como já resolvemos a equação
e obtivemos
, concluímos que o
fornecido pelo TVM também é
.
Interpretação geométrica curta (útil em prova): a reta secante que une os pontos
e
tem inclinação zero (é horizontal), e o TVM afirma que existe pelo menos uma reta tangente à curva, em algum ponto interno, com a mesma inclinação — aqui essa tangente horizontal ocorre em
.
Passo 5
Resumo do procedimento que vale para questões semelhantes na prova:
- Verifique continuidade em
e diferenciabilidade em . Para polinômios isso é automático. - Para Rolle, verifique ainda
. Se igual, calcule e resolva para achar os pontos . - Para o TVM, calcule a razão
e resolva essa razão; qualquer solução interior é o garantido.
Resposta
Rolle: hipóteses satisfeitas;
Teorema do Valor Médio: hipóteses satisfeitas;