Questão 1. Uma empresa vende determinado produto e seu lucro L(x), em milhares de reais, é dado por:
L(x)=-2 x^{2}+40 x-150, \quad x \geq 0,
onde x representa a quantidade produzida (em centenas de unidades).
Determine a quantidade que maximiza o lucro e qual é o lucro máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função lucro
L(x)=-2x^{2}+40x-150,\qquad x\ge 0,
onde:
  • L(x) está em milhares de reais;
  • x é a quantidade produzida, em centenas de unidades.
O que o problema pede:
  • determinar a quantidade x que maximiza o lucro;
  • determinar o lucro máximo L_{\max}.

Passo 2

Entendendo a forma da função: L(x) é um polinômio quadrático da forma geral
L(x)=ax^{2}+bx+c,
com a=-2, b=40 e c=-150. Quando a<0 a parábola abre para baixo, o que significa que a função tem um valor máximo (no vértice da parábola). Portanto faz sentido procurar o vértice para achar o máximo do lucro.

Passo 3

Método (completando o quadrado) — ideia: escrever L(x) como um “-2” vezes um quadrado perfeito mais uma constante, assim fica claro qual é o máximo. Começo fatorando o coeficiente de x^{2}:
L(x)=-2\bigl(x^{2}-20x\bigr)-150.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Recordando que
x^{2}-20x=(x-10)^{2}-100,
porque ao expandir (x-10)^{2} obtém-se x^{2}-20x+100, então para voltar a x^{2}-20x subtrai-se 100. Substituindo:
L(x)=-2\bigl((x-10)^{2}-100\bigr)-150.
Distribuindo o -2:
L(x)=-2(x-10)^{2}+200-150.
Finalmente:
L(x)=-2(x-10)^{2}+50.

Passo 4

Interpretação do resultado obtido: a expressão -2(x-10)^{2}+50 mostra que L(x) é uma parábola com um termo negativo multiplicando um quadrado perfeito. O termo (x-10)^{2} é sempre \ge 0, logo o maior valor de L(x) ocorre quando (x-10)^{2}=0, ou seja em x=10. Substituindo esse x na expressão, o lucro máximo é L(10)=50.

Passo 5

Verificação rápida pelo cálculo da derivada (opcional, para aprender outro método): a derivada de L é
L'(x)=-4x+40.
Igualando a zero para achar extremos:
-4x+40=0 \quad\Rightarrow\quad x=10,
o mesmo resultado. Como L''(x)=-4<0, esse extremo é um máximo.

Passo 6

Converter unidades e interpretar resultado:
  • x=10 está em centenas de unidades, portanto a quantidade que maximiza o lucro é 10 centenas =10\times100=1000 unidades.
  • L_{\max}=50 está em milhares de reais, portanto o lucro máximo é 50 milhares =\text{R\$}\,50.000.

Resposta

Quantidade que maximiza o lucro: x=10 (centenas) =1000 unidades
Lucro máximo: L_{\max}=50 (milhares de reais) =\text{R\$}\,50.000

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