Questão 1. Uma empresa vende determinado produto e seu lucro
, em milhares de reais, é dado por:
onde
representa a quantidade produzida (em centenas de unidades).
Determine a quantidade que maximiza o lucro e qual é o lucro máximo.
Determine a quantidade que maximiza o lucro e qual é o lucro máximo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função lucro
onde:
-
está em milhares de reais; -
é a quantidade produzida, em centenas de unidades.
O que o problema pede:
- determinar a quantidade
que maximiza o lucro; - determinar o lucro máximo
.
Passo 2
Entendendo a forma da função:
é um polinômio quadrático da forma geral
com
,
e
. Quando
a parábola abre para baixo, o que significa que a função tem um valor máximo (no vértice da parábola). Portanto faz sentido procurar o vértice para achar o máximo do lucro.
Passo 3
Método (completando o quadrado) — ideia: escrever
como um “-2” vezes um quadrado perfeito mais uma constante, assim fica claro qual é o máximo. Começo fatorando o coeficiente de
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Recordando que
porque ao expandir
obtém-se
, então para voltar a
subtrai-se
. Substituindo:
Distribuindo o
:
Finalmente:
Passo 4
Interpretação do resultado obtido: a expressão
mostra que
é uma parábola com um termo negativo multiplicando um quadrado perfeito. O termo
é sempre
, logo o maior valor de
ocorre quando
, ou seja em
. Substituindo esse
na expressão, o lucro máximo é
.
Passo 5
Verificação rápida pelo cálculo da derivada (opcional, para aprender outro método): a derivada de
é
Igualando a zero para achar extremos:
o mesmo resultado. Como
, esse extremo é um máximo.
Passo 6
Converter unidades e interpretar resultado:
-
está em centenas de unidades, portanto a quantidade que maximiza o lucro é centenas unidades. -
está em milhares de reais, portanto o lucro máximo é milhares .
Resposta
Quantidade que maximiza o lucro:
(centenas)
unidades
Lucro máximo: (milhares de reais)
Lucro máximo: