Questão 4 - Seja a função
Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para demonstrar que
Informações relevantes: o integrando depende de
de duas formas — no limite superior da integral (que é
) e explicitamente dentro do integrando através do fator
. Não foi dito nada mais sobre
, então vamos supor que
é suficientemente bem comportada (por exemplo, contínua) para que possamos derivar e aplicar o teorema fundamental do cálculo quando necessário.
Passo 2
Apresento a regra de diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz), que é a ferramenta técnica que precisamos. Seja
A derivada de
é dada por
Explicando cada termo:
e
são os limites (podem depender de
);
e
são suas derivadas;
é o integrando visto como função de
e
; a integral final soma a derivada parcial de
em relação a
ao longo do intervalo. Intuitivamente, a derivada de uma integral com limites variáveis tem contribuições das mudanças dos limites (termos de fronteira) e da mudança do próprio integrando (a integral da derivada parcial).
Passo 3
Aplique a regra de Leibniz à nossa
. Identificamos
Calculamos as derivadas dos limites:
Os termos de fronteira ficam:
Portanto os termos de fronteira somam zero e sobra apenas a integral da derivada parcial:
Passo 4
Calcule a derivada parcial dentro da integral. Como
é função de
(variável de integração) e não de
, ao derivar em relação a
temos
Logo
Aqui usei que
é independente de
, por isso
se comporta como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Agora derive
uma segunda vez. Pelo teorema fundamental do cálculo, se
e
é contínua em volta de
, então
Aplicando isso a
obtemos
Assim chegamos ao resultado desejado. (Observação: a hipótese de continuidade de
garante que essa diferenciação do integral é válida; o enunciado geralmente assume regularidade suficiente.)
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo rápido e concreto. Tome
. Então
Calcule termo a termo:
logo
Duas derivadas:
e de fato
. Essa verificação num exemplo mostra concretamente como a identidade funciona.