Questão 4 - Seja a função
g(x)=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) d t
Demonstre que
\frac{d^{2} g(x)}{d x^{2}}=f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{0}^{x}(x-t)\,f(t)\,dt
e pede para demonstrar que
\frac{d^{2}g(x)}{dx^{2}}=f(x).
Informações relevantes: o integrando depende de x de duas formas — no limite superior da integral (que é x) e explicitamente dentro do integrando através do fator (x-t). Não foi dito nada mais sobre f, então vamos supor que f é suficientemente bem comportada (por exemplo, contínua) para que possamos derivar e aplicar o teorema fundamental do cálculo quando necessário.

Passo 2

Apresento a regra de diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz), que é a ferramenta técnica que precisamos. Seja
H(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} k(x,t)\,dt.
A derivada de H é dada por
H'(x)=k(x,b(x))\,b'(x)-k(x,a(x))\,a'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}k(x,t)\,dt.
Explicando cada termo: a(x) e b(x) são os limites (podem depender de x); b'(x) e a'(x) são suas derivadas; k(x,t) é o integrando visto como função de x e t; a integral final soma a derivada parcial de k em relação a x ao longo do intervalo. Intuitivamente, a derivada de uma integral com limites variáveis tem contribuições das mudanças dos limites (termos de fronteira) e da mudança do próprio integrando (a integral da derivada parcial).

Passo 3

Aplique a regra de Leibniz à nossa g(x). Identificamos
a(x)=0,\qquad b(x)=x,\qquad k(x,t)=(x-t)\,f(t).
Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=0,\qquad b'(x)=1.
Os termos de fronteira ficam:
k(x,b(x))\,b'(x)=(x-x)\,f(x)\cdot 1=0,
k(x,a(x))\,a'(x)=(x-0)\,f(0)\cdot 0=0.
Portanto os termos de fronteira somam zero e sobra apenas a integral da derivada parcial:
g'(x)=\int_{0}^{x}\frac{\partial}{\partial x}\big[(x-t)\,f(t)\big]\,dt.

Passo 4

Calcule a derivada parcial dentro da integral. Como f(t) é função de t (variável de integração) e não de x, ao derivar em relação a x temos
\frac{\partial}{\partial x}\big[(x-t)\,f(t)\big]=\frac{\partial}{\partial x}(x-t)\cdot f(t)=1\cdot f(t)=f(t).
Logo
g'(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt.
Aqui usei que t é independente de x, por isso f(t) se comporta como constante ao derivar em relação a x.

Passo 5

Agora derive g'(x) uma segunda vez. Pelo teorema fundamental do cálculo, se F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt e f é contínua em volta de x, então
F'(x)=f(x).
Aplicando isso a g'(x) obtemos
g''(x)=\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x} f(t)\,dt\right)=f(x).
Assim chegamos ao resultado desejado. (Observação: a hipótese de continuidade de f garante que essa diferenciação do integral é válida; o enunciado geralmente assume regularidade suficiente.)

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo rápido e concreto. Tome f(t)=t. Então
g(x)=\int_{0}^{x}(x-t)\,t\,dt=\int_{0}^{x}(x t - t^{2})\,dt.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{x} x t\,dt = x\int_{0}^{x} t\,dt = x\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{2},
\int_{0}^{x} t^{2}\,dt=\frac{x^{3}}{3},
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g(x)=\frac{x^{3}}{2}-\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{6}.
Duas derivadas:
g'(x)=\frac{1}{2}x^{2},\qquad g''(x)=x,
e de fato g''(x)=x=f(x). Essa verificação num exemplo mostra concretamente como a identidade funciona.

Resposta

\frac{d^{2}g(x)}{dx^{2}}=f(x)

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