Questão 2 - Derive a função
P(x)=\int_{2 x^{-5}}^{\operatorname{sen}(3 x)}\left(v^{3}-2\right) \cos (v) d v

Passo 1

O que o problema pede: derivar a função
P(x)=\int_{2 x^{-5}}^{\operatorname{sen}(3 x)}\left(v^{3}-2\right)\cos(v)\,dv.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é em relação à variável v (ou seja, v é uma variável “de integração”, um dummy).
  • Os limites da integral dependem de x: o limite inferior é a(x)=2 x^{-5} e o limite superior é b(x)=\operatorname{sen}(3x).
  • O integrando é f(v)=(v^{3}-2)\cos(v).
  • A pergunta é: encontrar P'(x), a derivada de P em relação a x.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia / regra de Leibniz para limites dependentes de x):
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(v)\,dv = f\big(b(x)\big)\,b'(x)\;-\;f\big(a(x)\big)\,a'(x),
desde que f seja contínua. Aqui a intuição é: a variação da integral quando x muda vem da variação do valor no topo (multiplicada pela taxa de variação do topo) menos a variação no fundo (multiplicada pela taxa de variação do fundo). Esta fórmula é apenas o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 3

Identificamos as peças da fórmula para o nosso problema:
f(v) = (v^{3}-2)\cos(v),
a(x)=2 x^{-5},
b(x)=\operatorname{sen}(3x).
Vamos precisar de a'(x) e b'(x).

Passo 4

Calcular b'(x). Usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x é \cos(u)\cdot u'.
Aqui u=3x, logo u'=3. Portanto
b'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x).
Calcular a'(x). Usamos a regra da potência: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Temos a(x)=2x^{-5}, logo
a'(x)=2\cdot(-5)x^{-6}=-10x^{-6}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada da integral:
P'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Substituindo f, a, b e as derivadas que encontramos:
P'(x)=\big((\operatorname{sen}(3x))^{3}-2\big)\cos\big(\operatorname{sen}(3x)\big)\cdot 3\cos(3x) \;-\;\big((2x^{-5})^{3}-2\big)\cos(2x^{-5})\cdot(-10x^{-6}).

Passo 6

Simplificar o sinal e, se quisermos, alguns termos algébricos. Note que o segundo termo tem um menos multiplicando um a'(x) negativo, então vira soma:
- \big((2x^{-5})^{3}-2\big)\cos(2x^{-5})\cdot(-10x^{-6}) =+10x^{-6}\big((2x^{-5})^{3}-2\big)\cos(2x^{-5}).
Calcule (2x^{-5})^{3} = 8x^{-15}. Assim esse termo pode ser escrito como
10x^{-6}\big(8x^{-15}-2\big)\cos(2x^{-5}) = \big(80x^{-21}-20x^{-6}\big)\cos(2x^{-5}).

Passo 7

Juntando tudo, uma forma limpa para P'(x) é:
P'(x)=3\big((\operatorname{sen}(3x))^{3}-2\big)\cos\big(\operatorname{sen}(3x)\big)\cos(3x) \;+\;\big(80x^{-21}-20x^{-6}\big)\cos(2x^{-5}).

Resposta

P'(x)=3\big((\operatorname{sen}(3x))^{3}-2\big)\cos\big(\operatorname{sen}(3x)\big)\cos(3x)+\big(80x^{-21}-20x^{-6}\big)\cos(2x^{-5}).

Exercícios relacionados