Questão 2 - Derive a função
Passo 1
O que o problema pede: derivar a função
Informações dadas e observações iniciais:
- A integral é em relação à variável
(ou seja, é uma variável “de integração”, um dummy). - Os limites da integral dependem de
: o limite inferior é e o limite superior é . - O integrando é
. - A pergunta é: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia / regra de Leibniz para limites dependentes de
):
desde que
seja contínua. Aqui a intuição é: a variação da integral quando
muda vem da variação do valor no topo (multiplicada pela taxa de variação do topo) menos a variação no fundo (multiplicada pela taxa de variação do fundo). Esta fórmula é apenas o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Passo 3
Identificamos as peças da fórmula para o nosso problema:
Vamos precisar de
e
.
Passo 4
Calcular
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
.
Aqui , logo
. Portanto
Aqui
Calcular
. Usamos a regra da potência:
.
Temos , logo
Temos
Passo 5
Aplicar a fórmula da derivada da integral:
Substituindo
,
,
e as derivadas que encontramos:
Passo 6
Simplificar o sinal e, se quisermos, alguns termos algébricos. Note que o segundo termo tem um menos multiplicando um
negativo, então vira soma:
Calcule
. Assim esse termo pode ser escrito como
Passo 7
Juntando tudo, uma forma limpa para
é: