Questão 3 - Seja F(x)=\int_{1}^{x} f(t) d t onde f(t)=\int_{1}^{t^{4}} \frac{\sqrt{3+u^{6}}}{u} d u. Calcular F^{\prime \prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá duas definições com integrais aninhadas e pede um número específico:
  • Define F(x)=\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
  • Define f(t)=\int_{1}^{t^{4}} \frac{\sqrt{3+u^{6}}}{u}\,du.
    A pergunta é: calcular F^{\prime\prime}(1).
Informações relevantes que eu tenho:
  • F é definida como integral de f com limite superior variável x.
  • f é definida como integral de uma função de u com limite superior t^{4} (ou seja, o limite superior depende de t).
  • Preciso diferenciar F duas vezes e avaliar em x=1.

Passo 2

Primeira observação útil (ferramenta que uso aqui): quando uma função é definida por
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é
F'(x)=f(x).
Intuição rápida: um pequeno aumento em x acrescenta aproximadamente f(x) vezes o aumento; portanto a taxa de variação de F é f.

Passo 3

Da observação do passo anterior segue que a segunda derivada é
F''(x)=f'(x).
Logo o que precisamos calcular é f'(1). Em resumo:
F''(1)=f'(1).

Passo 4

Agora preciso achar f'(t) para a função dada por
f(t)=\int_{1}^{t^{4}} \frac{\sqrt{3+u^{6}}}{u}\,du.
Vou usar a regra para derivar uma integral cujo limite superior é uma função de t: se
h(t)=\int_{a}^{g(t)} p(u)\,du,
então, pela regra da cadeia combinada com o Teorema Fundamental,
h'(t)=p(g(t))\cdot g'(t).
Aqui p(u)=\dfrac{\sqrt{3+u^{6}}}{u} e g(t)=t^{4}.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso f(t):
f'(t)=\frac{\sqrt{3+(t^{4})^{6}}}{t^{4}}\cdot \frac{d}{dt}(t^{4}).
Calculo as partes:
  • (t^{4})^{6}=t^{24}.
  • \dfrac{d}{dt}(t^{4})=4t^{3}.
Substituindo:
f'(t)=\frac{\sqrt{3+t^{24}}}{t^{4}}\cdot 4t^{3}.

Passo 6

Agora simplifico a expressão de f'(t):
f'(t)=4t^{3}\cdot \frac{\sqrt{3+t^{24}}}{t^{4}}=4\frac{\sqrt{3+t^{24}}}{t}.
Assim tenho uma forma prática para avaliar em t=1:
f'(t)=\frac{4\sqrt{3+t^{24}}}{t}.

Passo 7

Avalio em t=1:
  • 1^{24}=1.
  • 3+1=4.
  • \sqrt{4}=2.
Portanto
f'(1)=\frac{4\cdot 2}{1}=8.
Como F''(1)=f'(1), concluímos que F''(1)=8.

Resposta

8

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