Questão 3 - Seja
onde
. Calcular
.
Passo 1
O enunciado dá duas definições com integrais aninhadas e pede um número específico:
- Define
. - Define
.
A pergunta é: calcular.
Informações relevantes que eu tenho:
-
é definida como integral de com limite superior variável . -
é definida como integral de uma função de com limite superior (ou seja, o limite superior depende de ). - Preciso diferenciar
duas vezes e avaliar em .
Passo 2
Primeira observação útil (ferramenta que uso aqui): quando uma função é definida por
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é
Intuição rápida: um pequeno aumento em
acrescenta aproximadamente
vezes o aumento; portanto a taxa de variação de
é
.
Passo 3
Da observação do passo anterior segue que a segunda derivada é
Logo o que precisamos calcular é
. Em resumo:
Passo 4
Agora preciso achar
para a função dada por
Vou usar a regra para derivar uma integral cujo limite superior é uma função de
: se
então, pela regra da cadeia combinada com o Teorema Fundamental,
Aqui
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso
:
Calculo as partes:
-
. -
.
Substituindo:
Passo 6
Agora simplifico a expressão de
:
Assim tenho uma forma prática para avaliar em
:
Passo 7
Avalio em
:
-
. -
. -
.
Portanto
Como
, concluímos que
.