Questão 2. Seja g(t) transformada de Laplace inversa da função G(s)=\frac{6 \mathrm{e}^{-2 s}}{(s-3)^{4}}. Calcule g(4). Res.: g(t)=u_{2}(t) h(t-2), em que H(s)=\frac{6}{(s-3)^{4}}. Da tabela segue que h(t)=e^{3 t} t^{3}. Logo,
g(4)=u_{2}(4) h(4-2)=h(2)=8 e^{6}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace G(s)=\dfrac{6\,\mathrm{e}^{-2s}}{(s-3)^{4}} e pede para calcular g(4), onde g(t) é a transformada de Laplace inversa de G(s). Informações relevantes:
  • Há um fator de deslocamento no tempo dado por \mathrm{e}^{-2s} (ou seja, deslocamento a=2).
  • O núcleo sem o deslocamento é F(s)=\dfrac{6}{(s-3)^{4}}.
  • Precisamos encontrar g(4), isto é, o valor de g(t) em t=4.

Passo 2

Lembrete da propriedade de deslocamento no tempo (teorema do degrau/shift): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então vale
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\,f(t-a)\}= \mathrm{e}^{-a s} F(s),
onde u_{a}(t) é a função degrau unitário deslocada definida por u_{a}(t)=0 para t<a e u_{a}(t)=1 para t\ge a. Daí a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\{\mathrm{e}^{-a s}F(s)\}=u_{a}(t)\,f(t-a).
Explicando as letras: a é o tempo de deslocamento (aqui a=2), F(s) é a transformada de f(t) e u_a(t) liga/desliga a função após t=a.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso G(s): escrevemos
G(s)=\mathrm{e}^{-2s}\underbrace{\frac{6}{(s-3)^{4}}}_{F(s)}.
Logo a inversa é da forma
g(t)=u_{2}(t)\,h(t-2),
onde h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{6}{(s-3)^{4}}\right\}. Agora precisamos achar h(t).

Passo 4

Usamos a fórmula padrão da tabela de Laplace: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Aqui as variáveis significam: t é o tempo, a é o expoente da exponencial, n é o grau do polinômio em t; o lado direito é a transformada em s. Invertendo a fórmula,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\right\}= \frac{t^{n}e^{a t}}{n!}.
No nosso caso temos \dfrac{6}{(s-3)^{4}}=6\cdot\dfrac{1}{(s-3)^{4}}. Comparando com a fórmula, temos a=3 e n+1=4\Rightarrow n=3. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-3)^{4}}\right\}=\frac{t^{3}e^{3t}}{3!}=\frac{t^{3}e^{3t}}{6}.
Multiplicando por 6 obtemos
h(t)=6\cdot\frac{t^{3}e^{3t}}{6}=t^{3}e^{3t}.

Passo 5

Portanto a função g(t) é
g(t)=u_{2}(t)\,h(t-2)=u_{2}(t)\,(t-2)^{3}e^{3(t-2)}.
Isto significa que para t<2 temos g(t)=0 e para t\ge2 temos g(t)=(t-2)^{3}e^{3(t-2)}.

Passo 6

Agora avaliamos em t=4. Como 4\ge2, tem-se u_{2}(4)=1. Logo
g(4)=(4-2)^{3}e^{3(4-2)}=2^{3}e^{6}=8e^{6}.

Resposta

8e^{6}

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