1^{a} Questão(2,5) Seja A \in M_{m \times n}(\mathbb{R}).
(a) O sistema homogêneo A X=0 admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
(b) Encontre os valores de k \in \mathbb{R}, tais que o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{l} 2 x-5 y+2 z=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x+k z=0 \end{array}\right.
tenha pelo menos uma solução distinta da trivial. Qual é esta solução?

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Dado [A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})), perguntar qual solução o sistema homogêneo A X = 0 admite pelo menos.
(b) Para o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x-5y+2z=0\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] 2x+kz=0 \end{cases}
indicar todos os valores de (k\in\mathbb{R}] tais que o sistema tenha pelo menos uma solução distinta da trivial, e determinar qual é essa solução (ou as soluções).
Informações relevantes dadas:
  • Em (a) só sabemos que o sistema é homogêneo A X=0.
  • Em (b) temos explicitamente as três equações lineares em x,y,z com parâmetro k.]

Passo 2

Entendendo o que significa “sistema homogêneo” e a solução trivial (pequena aula rápida e amiga).
Um sistema homogêneo é um sistema linear cujos termos independentes (lado direito) são todos zero. Ou seja, tem sempre a forma
A X = 0,
onde A é a matriz dos coeficientes e X é o vetor incógnita. Uma observação simples e fundamental: o vetor nulo (todas as componentes iguais a zero) sempre satisfaz o sistema, porque
A\cdot 0 = 0.
Esse vetor X=0 chama-se solução trivial. Então, toda vez que o sistema é homogêneo, ao menos a solução trivial existe. Vou usar isso já para responder (a).

Passo 3

Resposta direta para (a) com explicação completinha.
A solução que o sistema homogêneo A X=0 admite pelo menos é o vetor zero (vetor nulo). Em notação,
\text{(a) solução: } X = 0 \quad(\text{vetor nulo de dimensão adequada}).çãã
Motivo: ao multiplicar a matriz A pelo vetor nulo obtemos o vetor nulo do lado direito, logo é solução. (No exame, basta citar e justificar que A0=0.)

Passo 4

Agora (b): escolher um método. Temos um sistema 3\times 3 (três equações, três incógnitas), então é natural formar a matriz quadrada dos coeficientes e estudar sua invertibilidade. Conceito usado: para um sistema homogêneo com matriz quadrada M de ordem n, existe solução não trivial se, e somente se, \det(M)=0. Por quê? Porque se \det(M)\neq0 a matriz é invertível e multiplicando por M^{-1} obtém-se X=0 única solução; se \det(M)=0 a matriz não é invertível e o núcleo (espaço de soluções) tem dimensão \ge 1, dando soluções não triviais. Vou aplicar isso.

Passo 5

Escrever a matriz dos coeficientes do sistema de (b). A matriz M é
M=\begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Queremos os valores de k tais que \det(M)=0.]

Passo 6

Calcular \det(M) passo a passo (sem pular contas).
Usando expansão por cofatores na primeira linha (ou regra de Sarrus), temos
\det(M)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & k\end{pmatrix} -(-5)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & k\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 0 = k,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 2 = k-2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2.
Substituindo:
\det(M)=2\cdot k + 5\cdot (k-2) + 2\cdot (-2).
Simplificando passo a passo:
2k + 5k -10 -4 = 7k -14.
Logo
\det(M)=7k-14 = 7(k-2).]

Passo 7

Determinar k tal que \det(M)=0.
Temos 7(k-2)=0, portanto k-2=0 e
k=2.
Conclusão: o sistema tem solução não trivial exatamente quando k=2. Para k\neq2 a única solução é a trivial X=0.

Passo 8

Agora encontrar explicitamente as soluções quando [k=2) (mostrar como resolver na prova).
Substituo k=2 nas equações:
\begin{cases} 2x-5y+2z=0\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] 2x+2z=0 \end{cases}
A terceira equação simplifica dividindo por 2\]: \[x+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-z.\] Uso isso na segunda equação: \[(-z) + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad y=0.\] Verifico a primeira equação com \(x=-z e y=0:
2(-z) -5\cdot 0 + 2z = -2z + 2z = 0,
que é satisfeita para todo z. Portanto z é parâmetro livre. Escrevo a solução geral usando parâmetro t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(-t,\,0,\,t)=t(-1,0,1).
A solução trivial corresponde a t=0; para t\neq0 obtemos soluções não triviais. Então o espaço de soluções (núcleo) é a reta gerada pelo vetor (-1,0,1).]

Passo 9

Resumo prático para a prova (o que anotar rapidamente):
  • Qualquer sistema homogêneo tem X=0 como solução.
  • Para sistema quadrado 3\times3, procurar \det da matriz dos coeficientes; \det=0 ⇔ existem soluções não triviais.
  • Aqui \det=7(k-2), então só em k=2 o sistema tem não-trivial.
  • Para k=2 a solução geral é t(-1,0,1), t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) X=0 (vetor nulo).\n(b) k=2. Solução geral: (x,y,z)=t(-1,0,1), t\in\mathbb{R} (solução não trivial exemplo: (-1,0,1) para t=1).

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