Dizemos que uma matriz quadrada B é uma raiz quadrada de uma matriz quadrada se B \cdot B=A. Prove que se uma matriz quadrada possui raiz quadrada, então seu determinante é não negativo.

Passo 1

O enunciado diz: uma matriz quadrada B é raiz quadrada de uma matriz quadrada A se B\cdot B = A. O pedido é: provar que, se existe uma matriz quadrada real B tal que B^2=A, então o determinante de A é não negativo.
Informações relevantes que temos: A e B são matrizes quadradas com entradas reais e satisfazem B\cdot B = A. Não há outras hipóteses no enunciado, então vamos trabalhar com matrizes reais (se permitíssemos matrizes complexas a conclusão sobre “não negatividade” real não seria garantida).

Passo 2

Lema básico que vamos usar (expliquei porque é importante): a operação determinante tem a propriedade multiplicativa, isto é, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(X\cdot Y)=\det(X)\cdot\det(Y).
O que isso diz em palavras: o determinante do produto é o produto dos determinantes. É uma propriedade fundamental do determinante que você pode lembrar como “det é um homomorfismo multiplicativo do grupo das matrizes invertíveis (e se estende às não-invertíveis)”. Vamos usar essa propriedade diretamente no próximo passo.

Passo 3

Aplique a propriedade multiplicativa ao produto B\cdot B. Como A=B\cdot B, temos
\det(A)=\det(B\cdot B)=\det(B)\cdot\det(B).
Escrevendo de forma mais compacta:
\det(A)=\det(B)^2.

Passo 4

Agora examine o lado direito \det(B)^2. Como B é uma matriz com entradas reais, \det(B) é um número real. Seja x=\det(B)\in\mathbb{R}. O quadrado de um número real satisfaz sempre
x^2\ge 0.
Isto é uma propriedade elementar dos números reais: ao multiplicar um real por ele mesmo, o resultado não pode ser negativo.

Passo 5

Juntando os passos anteriores: \det(A)=\det(B)^2 com \det(B)\in\mathbb{R} implica que \det(A) é um quadrado de real e, portanto,
\det(A)\ge 0.
No caso particular \det(B)=0 obtemos \det(A)=0; no caso \det(B)\neq 0 obtemos \det(A)>0. Em todos os casos \det(A) não é negativo.

Resposta

\det(A)=\det(B)^2\ge 0

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