Dizemos que uma matriz quadrada
é uma raiz quadrada de uma matriz quadrada se
. Prove que se uma matriz quadrada possui raiz quadrada, então seu determinante é não negativo.
Passo 1
O enunciado diz: uma matriz quadrada
é raiz quadrada de uma matriz quadrada
se
. O pedido é: provar que, se existe uma matriz quadrada real
tal que
, então o determinante de
é não negativo.
Informações relevantes que temos: e
são matrizes quadradas com entradas reais e satisfazem
. Não há outras hipóteses no enunciado, então vamos trabalhar com matrizes reais (se permitíssemos matrizes complexas a conclusão sobre “não negatividade” real não seria garantida).
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Lema básico que vamos usar (expliquei porque é importante): a operação determinante tem a propriedade multiplicativa, isto é, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
e
vale
O que isso diz em palavras: o determinante do produto é o produto dos determinantes. É uma propriedade fundamental do determinante que você pode lembrar como “det é um homomorfismo multiplicativo do grupo das matrizes invertíveis (e se estende às não-invertíveis)”. Vamos usar essa propriedade diretamente no próximo passo.
Passo 3
Aplique a propriedade multiplicativa ao produto
. Como
, temos
Escrevendo de forma mais compacta:
Passo 4
Agora examine o lado direito
. Como
é uma matriz com entradas reais,
é um número real. Seja
. O quadrado de um número real satisfaz sempre
Isto é uma propriedade elementar dos números reais: ao multiplicar um real por ele mesmo, o resultado não pode ser negativo.
Passo 5
Juntando os passos anteriores:
com
implica que
é um quadrado de real e, portanto,
No caso particular
obtemos
; no caso
obtemos
. Em todos os casos
não é negativo.