Um acidente foi presenciado por 1 / 65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por N(t)=B1+C e^-k t, onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1 / 9 da população soube do acidente 3 horas após o fato, responda:
b) Encontre a inversa da função N(t) e explique seu significado.

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo logístico para o número de pessoas que souberam do acidente: N(t)=dfracB1+C e^-k t, onde B é a população total e C,k são constantes. A tarefa é achar a função inversa N^-1(x) e interpretar seu significado (conteúdo: inversão de função, uso de logaritmo).

Passo 2

Começamos isolando e^-k t. Partindo de x=N(t)=dfracB1+C e^-k t temos:
1+C e^-k t=Bx
C e^-k t=Bx-1=B-xx
e^-k t=B-xC x

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural:
-k t=lnl(B-xC xr)
t= -1klnl(B-xC xr)=1klnl(C xB-xr)

Passo 4

Portanto, a inversa é N^-1(x)=dfrac1klnl(tfracC xB-xr).
Essa inversa significa: dado um número x de pessoas que já sabem do acidente, N^-1(x) é o tempo t necessário para que exatamente x pessoas tenham tomado conhecimento do fato.

Resposta

A inversa de N é N^-1(x)=1klnl(C xB-xr) Ela fornece o tempo t necessário para que x pessoas da população tenham tomado conhecimento do acidente.

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