Questão 2. Considere os vetores v_{1}=(1,0,1,1), v_{2}=(0,0,1,2) e v_{3}=(0,0,2,3) \mathrm{em} \mathbb{R}^{4}.
a) (5 pt) Mostre que o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é linearmente independente.
b) ( 5 pt )Encontre uma base para \mathbb{R}^{4} contendo \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}.
(Dica: veja quais vetores canônicos são gerados por v_{1}, v_{2} e v_{3} )

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,v_{1}=(1,0,1,1),\; v_{2}=(0,0,1,2),\; v_{3}=(0,0,2,3)\, em \mathbb{R}^{4} e pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.
  2. (b) Encontrar uma base de \mathbb{R}^{4} que contenha \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
    Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores acima (cada coordenada listada).
  • Dica: verificar quais vetores canônicos (os vetores (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) são gerados por v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 2

Definição e estratégia para (a).
Para mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente, usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a única solução da equação
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Vou escrever essa combinação em coordenadas e resolver para os coeficientes \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}.

Passo 3

Escrever a combinação linear coordenada a coordenada. A equação \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0 equivale ao sistema (cada linha corresponde a uma coordenada):
\begin{cases} \alpha_{1}\cdot 1 + \alpha_{2}\cdot 0 + \alpha_{3}\cdot 0 = 0,\\[4pt] \alpha_{1}\cdot 0 + \alpha_{2}\cdot 0 + \alpha_{3}\cdot 0 = 0,\\[4pt] \alpha_{1}\cdot 1 + \alpha_{2}\cdot 1 + \alpha_{3}\cdot 2 = 0,\\[4pt] \alpha_{1}\cdot 1 + \alpha_{2}\cdot 2 + \alpha_{3}\cdot 3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação obtemos imediatamente
\alpha_{1}=0.
A segunda equação é 0=0 (não dá informação nova). Substituindo \alpha_{1}=0 nas duas últimas equações obtemos o sistema em \alpha_{2},\alpha_{3}:
\begin{cases} \alpha_{2} + 2\alpha_{3} = 0,\\[4pt] 2\alpha_{2} + 3\alpha_{3} = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema reduzido. Da primeira equação \alpha_{2} = -2\alpha_{3}. Substituindo na segunda:
2(-2\alpha_{3}) + 3\alpha_{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad -4\alpha_{3}+3\alpha_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -\alpha_{3}=0,
logo \alpha_{3}=0. Então \alpha_{2}=-2\cdot 0=0. Juntando com \alpha_{1}=0, concluímos que a única solução é
\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
Portanto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente. (Isso resolve a parte (a).)

Passo 6

Entendendo o que falta para (b). Já temos três vetores independentes em \mathbb{R}^{4}, então eles geram um subespaço de dimensão 3. Para formar uma base de \mathbb{R}^{4} precisamos de mais um vetor que não esteja nesse subespaço (ou seja, que torne o conjunto de 4 vetores linearmente independente). A dica sugere verificar quais vetores canônicos \,e_{1}=(1,0,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0,0),\\ e_{3}=(0,0,1,0),\\ e_{4}=(0,0,0,1)\, já são gerados por v_{1},v_{2},v_{3}. Se muitos canônicos já estiverem no span, basta pegar um canônico que não esteja.

Passo 7

Verificar se e_{3}=(0,0,1,0) e e_{4}=(0,0,0,1) pertencem ao span (v_{1},v_{2},v_{3}). Como v_{2} e v_{3} têm primeiras duas coordenadas zero, é natural tentar combiná-los para obter e_{3} e e_{4}. Busco coeficientes a,b tais que
a v_{2} + b v_{3} = e_{3}.
Escrevendo coordenadas das últimas duas componentes (as duas primeiras já são zero):
\begin{cases} a\cdot 1 + b\cdot 2 = 1,\\[4pt] a\cdot 2 + b\cdot 3 = 0. \end{cases}]

Passo 8

Resolver para a,b. Da segunda equação 2a+3b=0 temos a=-\dfrac{3}{2}b. Substituindo na primeira:
-\dfrac{3}{2}b + 2b = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{b}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad b=2,\quad a=-3.
Logo
e_{3} = -3\,v_{2} + 2\,v_{3}.
Isso mostra que e_{3} está no span de v_{2},v_{3}, logo também no span de v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 9

Agora buscar a,b tais que
a v_{2} + b v_{3} = e_{4}.
Escrevendo as últimas duas coordenadas:
\begin{cases} a\cdot 1 + b\cdot 2 = 0,\\[4pt] a\cdot 2 + b\cdot 3 = 1. \end{cases}]

Passo 10

Resolver para a,b. Da primeira equação a=-2b. Substituindo na segunda:
2(-2b) + 3b = 1 \quad\Rightarrow\quad -4b+3b=1 \quad\Rightarrow\quad -b=1 \quad\Rightarrow\quad b=-1,\quad a=2.
Portanto
e_{4} = 2\,v_{2} - v_{3}.
Logo e_{4} também pertence ao span de v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 11

Expressar e_{1}=(1,0,0,0) usando v_{1},v_{2},v_{3}. Procuro \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_{1} + \beta v_{2} + \gamma v_{3} = e_{1}.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \alpha = 1 &\text{(primeira coordenada)},\\[4pt] \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 2 = 0 &\text{(terceira)},\\[4pt] \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 2 + \gamma\cdot 3 = 0 &\text{(quarta)}. \end{cases}]

Passo 12

Substituir \alpha=1\) nas equações das coordenadas 3 e 4: \[\begin{cases} 1 + \beta + 2\gamma = 0,\\[4pt] 1 + 2\beta + 3\gamma = 0. \end{cases}
Da primeira \beta = -1 - 2\gamma\]. Substituindo na segunda: \[1 + 2(-1-2\gamma) + 3\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 -2 -4\gamma + 3\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 -\gamma = 0,\] logo \(\gamma = -1. Assim \beta = -1 -2(-1)=1. Portanto
e_{1} = 1\cdot v_{1} + 1\cdot v_{2} -1\cdot v_{3}.
Concluímos que e_{1} também pertence ao span de v_{1},v_{2},v_{3}.]

Passo 13

Observação sobre e_{2}=(0,1,0,0). Todos os vetores v_{1},v_{2},v_{3} têm segunda coordenada igual a 0. Portanto nenhum deles pode gerar um vetor com segunda coordenada não nula; assim e_{2} não pertence ao span (v_{1},v_{2},v_{3}). Isso significa que adicionando e_{2} a \{v_{1},v_{2},v_{3}\} obtemos um conjunto de quatro vetores que geram \mathbb{R}^{4}. Além disso, e_{2} não é combinação linear dos três anteriores (pois sua segunda coordenada é 1 enquanto as dos outros são 0), logo a independência se mantém.

Passo 14

Concluir a parte (b). Assim uma base de \mathbb{R}^{4} que contenha \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é, por exemplo,
\{\,v_{1},\;v_{2},\;v_{3},\;e_{2}\,\},
onde e_{2}=(0,1,0,0). Pode-se também reordenar os vetores; o que importa é que esses quatro são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{4}. (Sabendo que e_{1},e_{3},e_{4} estão no span de v_{1},v_{2},v_{3}, bastou acrescentar e_{2} para obter todos os quatro canônicos.)

Resposta

(a) \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.
(b) Uma base de \mathbb{R}^{4} contendo \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é \{\,v_{1},v_{2},v_{3},e_{2}\,\}, onde e_{2}=(0,1,0,0).

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