Questão 2. Considere os vetores v_{1}=(1,0,1,1), v_{2}=(0,0,1,2) e v_{3}=(0,0,2,3) \mathrm{em} \mathbb{R}^{4}.
a) (5 pt) Mostre que o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é linearmente independente.
b) ( 5 pt )Encontre uma base para \mathbb{R}^{4} contendo \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}.
(Dica: veja quais vetores canônicos são gerados por v_{1}, v_{2} e v_{3} )
Passo 1
O enunciado dá os vetores \,v_{1}=(1,0,1,1),\; v_{2}=(0,0,1,2),\; v_{3}=(0,0,2,3)\, em \mathbb{R}^{4} e pede duas coisas:
(a) Mostrar que o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.
(b) Encontrar uma base de \mathbb{R}^{4} que contenha \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores acima (cada coordenada listada).
Dica: verificar quais vetores canônicos (os vetores (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) são gerados por v_{1},v_{2},v_{3}.
Passo 2
Definição e estratégia para (a).
Para mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente, usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a única solução da equação
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Vou escrever essa combinação em coordenadas e resolver para os coeficientes \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}.
Passo 3
Escrever a combinação linear coordenada a coordenada. A equação \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0 equivale ao sistema (cada linha corresponde a uma coordenada):
logo \alpha_{3}=0. Então \alpha_{2}=-2\cdot 0=0. Juntando com \alpha_{1}=0, concluímos que a única solução é
\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
Portanto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente. (Isso resolve a parte (a).)
Passo 6
Entendendo o que falta para (b). Já temos três vetores independentes em \mathbb{R}^{4}, então eles geram um subespaço de dimensão 3. Para formar uma base de \mathbb{R}^{4} precisamos de mais um vetor que não esteja nesse subespaço (ou seja, que torne o conjunto de 4 vetores linearmente independente). A dica sugere verificar quais vetores canônicos \,e_{1}=(1,0,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0,0),\\ e_{3}=(0,0,1,0),\\ e_{4}=(0,0,0,1)\, já são gerados por v_{1},v_{2},v_{3}. Se muitos canônicos já estiverem no span, basta pegar um canônico que não esteja.
Passo 7
Verificar se e_{3}=(0,0,1,0) e e_{4}=(0,0,0,1) pertencem ao span(v_{1},v_{2},v_{3}). Como v_{2} e v_{3} têm primeiras duas coordenadas zero, é natural tentar combiná-los para obter e_{3} e e_{4}. Busco coeficientes a,b tais que
a v_{2} + b v_{3} = e_{3}.
Escrevendo coordenadas das últimas duas componentes (as duas primeiras já são zero):
Concluímos que e_{1} também pertence ao span de v_{1},v_{2},v_{3}.]
Passo 13
Observação sobre e_{2}=(0,1,0,0). Todos os vetores v_{1},v_{2},v_{3} têm segunda coordenada igual a 0. Portanto nenhum deles pode gerar um vetor com segunda coordenada não nula; assim e_{2} não pertence ao span(v_{1},v_{2},v_{3}). Isso significa que adicionando e_{2} a \{v_{1},v_{2},v_{3}\} obtemos um conjunto de quatro vetores que geram \mathbb{R}^{4}. Além disso, e_{2} não é combinação linear dos três anteriores (pois sua segunda coordenada é 1 enquanto as dos outros são 0), logo a independência se mantém.
Passo 14
Concluir a parte (b). Assim uma base de \mathbb{R}^{4} que contenha \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é, por exemplo,
\{\,v_{1},\;v_{2},\;v_{3},\;e_{2}\,\},
onde e_{2}=(0,1,0,0). Pode-se também reordenar os vetores; o que importa é que esses quatro são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{4}. (Sabendo que e_{1},e_{3},e_{4} estão no span de v_{1},v_{2},v_{3}, bastou acrescentar e_{2} para obter todos os quatro canônicos.)
Resposta
(a) \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.
(b) Uma base de \mathbb{R}^{4} contendo \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é \{\,v_{1},v_{2},v_{3},e_{2}\,\}, onde e_{2}=(0,1,0,0).