Questão 4. Seja
um espaço vetorial munido com o produto interno
. Mostre que
(b) (Identidade de Polarização)
(b) (Identidade de Polarização)
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
equipado com um produto interno
e pede para mostrar a identidade de polarização
para vetores
. Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é provar a igualdade acima, partindo apenas das propriedades do produto interno e da definição da norma induzida.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as propriedades do produto interno que vamos usar (estou assumindo aqui o caso escalar real, que é o contexto do enunciado com essa forma da identidade):
- Linearidade em cada argumento (para escalares reais
e vetores ):
- Simetria:
Também usaremos que a norma induzida satisfaz, por definição,
Vou aplicar essas propriedades passo a passo para expandir as expressões
e
.
Passo 3
Expansão de
. Primeiro escrevo a norma ao quadrado como produto interno:
Agora uso a linearidade em cada argumento para distribuir:
Usando a simetria
obtemos
Aqui cada termo significa:
,
e
vem da soma das duas parcelas mistas.
Passo 4
Expansão de
. Analogamente:
Distribuindo pela linearidade:
Usando novamente
temos
Repare como o termo misto muda de sinal por causa do sinal menos no segundo termo.
Passo 5
Agora subtraio as duas expansões para isolar
. Subtraindo
de
obtemos:
As parcelas
e
cancelam-se, sobrando apenas os termos mistos.]
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
isolamos
:
que é exatamente a identidade de polarização pedida.
Passo 7
Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplo concreto). Tome
e
em
com o produto interno usual
.
- Calcule
: , então . - Calcule
: , então . - Pela identidade:
- O produto interno direto é
. Confere certinho.
Passo 8
Observação prática para prova (dica amiga): quando souberes calcular normas ao quadrado mais facilmente do que o produto interno, aplica essa identidade — ela te permite recuperar
a partir de normas. Se precisar, replica o procedimento passo a passo (expandir, cancelar, dividir por 4) e pronto — nada misterioso, só linearidade e simetria.