Questão 4. Seja mathbb{V} um espaço vetorial munido com o produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Mostre que
(b) (Identidade de Polarização)
\langle u, v\rangle=\frac{1}{4}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial \mathbb{V} equipado com um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e pede para mostrar a identidade de polarização
\langle u, v\rangle=\frac{1}{4}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)
para vetores u,v\in\mathbb{V}. Informações relevantes fornecidas:
\text{temos }u,v\in\mathbb{V}\quad\text{e}\quad\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\text{ para todo }x\in\mathbb{V}.
A tarefa é provar a igualdade acima, partindo apenas das propriedades do produto interno e da definição da norma induzida.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades do produto interno que vamos usar (estou assumindo aqui o caso escalar real, que é o contexto do enunciado com essa forma da identidade):
  • Linearidade em cada argumento (para escalares reais a,b e vetores x,y,z):
\langle ax+by, z\rangle = a\langle x,z\rangle + b\langle y,z\rangle.
  • Simetria:
\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle.
Também usaremos que a norma induzida satisfaz, por definição,
\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo para expandir as expressões \|u+v\|^{2} e \|u-v\|^{2}.

Passo 3

Expansão de \|u+v\|^{2}. Primeiro escrevo a norma ao quadrado como produto interno:
\|u+v\|^{2}=\langle u+v,\,u+v\rangle.
Agora uso a linearidade em cada argumento para distribuir:
\langle u+v,\,u+v\rangle=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.
Usando a simetria \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle obtemos
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}.
Aqui cada termo significa: \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle, \|v\|^{2}=\langle v,v\rangle e 2\langle u,v\rangle vem da soma das duas parcelas mistas.

Passo 4

Expansão de \|u-v\|^{2}. Analogamente:
\|u-v\|^{2}=\langle u-v,\,u-v\rangle.
Distribuindo pela linearidade:
\langle u-v,\,u-v\rangle=\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.
Usando novamente \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle temos
\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}-2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}.
Repare como o termo misto muda de sinal por causa do sinal menos no segundo termo.

Passo 5

Agora subtraio as duas expansões para isolar \langle u,v\rangle. Subtraindo \|u-v\|^{2} de \|u+v\|^{2} obtemos:
\begin{aligned} \|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2} &=\big(\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}\big)-\big(\|u\|^{2}-2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}\big)\\[4pt] &=2\langle u,v\rangle-(-2\langle u,v\rangle)\\[4pt] &=4\langle u,v\rangle. \end{aligned}
As parcelas \|u\|^{2} e \|v\|^{2} cancelam-se, sobrando apenas os termos mistos.]

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 4 isolamos \langle u,v\rangle:
\langle u,v\rangle=\frac{1}{4}\big(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\big),
que é exatamente a identidade de polarização pedida.

Passo 7

Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplo concreto). Tome u=(1,2) e v=(3,4) em \mathbb{R}^{2} com o produto interno usual \langle x,y\rangle=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
  • Calcule \|u+v\|^{2}: u+v=(4,6), então \|u+v\|^{2}=4^{2}+6^{2}=16+36=52.
  • Calcule \|u-v\|^{2}: u-v=(-2,-2), então \|u-v\|^{2}=(-2)^{2}+(-2)^{2}=4+4=8.
  • Pela identidade:
\frac{1}{4}\big(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\big)=\frac{1}{4}(52-8)=\frac{44}{4}=11.
  • O produto interno direto é \langle u,v\rangle=1\cdot3+2\cdot4=3+8=11. Confere certinho.

Passo 8

Observação prática para prova (dica amiga): quando souberes calcular normas ao quadrado mais facilmente do que o produto interno, aplica essa identidade — ela te permite recuperar \langle u,v\rangle a partir de normas. Se precisar, replica o procedimento passo a passo (expandir, cancelar, dividir por 4) e pronto — nada misterioso, só linearidade e simetria.

Resposta

\langle u, v\rangle=\frac{1}{4}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)

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