Questão 4. Seja mathbb{V} um espaço vetorial munido com o produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Mostre que
(c) (Teorema de Pitágoras) se u \perp v então
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial \mathbb{V} com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e pede para mostrar a seguinte afirmação (Teorema de Pitágoras) quando dois vetores são ortogonais:
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
Temos vetores u e v em \mathbb{V}.
A condição de ortogonalidade é u \perp v, o que significa que \langle u,v\rangle=0.
A norma é definida a partir do produto interno (norma induzida): \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Nada mais será assumido neste passo; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Relembre rigorosamente as definições que vamos usar (explicadas de forma direta, sem pular etapas):
Definição de norma induzida pelo produto interno: para qualquer x\in\mathbb{V},
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Logo,
\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.
Expliquei isso porque a identidade que queremos provar envolve \|\,\cdot\,\|^{2}, que é simplesmente o produto interno do vetor consigo mesmo.
Definição de ortogonalidade: dizemos que u é ortogonal a v (escreve-se u\perp v) quando
\langle u,v\rangle=0.
Isso é a informação-chave que vai anular certos termos na expansão.
Propriedade do produto interno que vamos usar: o produto interno é linear na primeira entrada e tem a propriedade de conjugação simétrica na troca das entradas. Em particular, para nossos objetivos basta saber que, se \langle u,v\rangle=0 então também \langle v,u\rangle=0 (porque \langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}). Em espaços reais essa propriedade se escreve como simetria: \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle.
Passo 3
Mostro a ideia geral do cálculo que vamos fazer: expressar \|u+v\|^{2} em termos do produto interno e depois expandir usando linearidade do produto interno. Essa expansão vai produzir termos \langle u,u\rangle, \langle u,v\rangle, \langle v,u\rangle e \langle v,v\rangle. Com a hipótese u\perp v veremos que os dois termos mistos são zero, sobrando a soma das normas quadradas.
Passo 4
Começamos substituindo a definição de norma ao quadrado:
\|u+v\|^{2}=\langle u+v,\;u+v\rangle.
Expliquei antes que \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle, então aqui aplicamos isso ao vetor u+v.
Passo 5
Agora expandimos o produto interno usando sua linearidade na primeira entrada (e/ou propriedade distributiva). Aplicando a distributividade em ambas as entradas (ou primeiro em uma e depois na outra) obtemos:
Detalhe didático: fizemos primeiro \langle u+v,\;u+v\rangle=\langle u,u+v\rangle+\langle v,u+v\rangle (linear em primeira entrada) e depois \langle u,u+v\rangle=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle e \langle v,u+v\rangle=\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle. Por isso surgem exatamente quatro termos.
Passo 6
Reescrevo os termos \langle u,u\rangle e \langle v,v\rangle em termos de normas ao quadrado, porque isso deixa a expressão na forma desejada:
Agora uso a hipótese de ortogonalidade u\perp v, que é \langle u,v\rangle=0. Pela propriedade de conjugação simétrica do produto interno, \langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}. Portanto se \langle u,v\rangle=0 então também \langle v,u\rangle=0. Assim os dois termos mistos da expansão são zero:
\langle u,v\rangle=0,\qquad \langle v,u\rangle=0.
Passo 8
Substituindo esses zeros na expressão do Passo 6 obtemos imediatamente:
Pronto — essa igualdade é exatamente o Teorema de Pitágoras no contexto de espaços vetoriais com produto interno.
Passo 9
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (útil para a prova: ver o que está acontecendo de verdade). No caso usual \mathbb{R}^{2} com o produto interno padrão (produto escalar), tome u=(1,0) e v=(0,2). Então \langle u,v\rangle=1\cdot0+0\cdot2=0, logo u\perp v.
\|u\|^{2}=\langle u,u\rangle=1^{2}+0^{2}=1.
\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle=0^{2}+2^{2}=4.
\|u+v\|^{2}=\langle (1,2),(1,2)\rangle=1^{2}+2^{2}=5.
E 1+4=5, confirmando a fórmula.