Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
definem um produto interno sobre o espaço vetorial
.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e a aplicação
onde
e
. A pergunta é: essa aplicação define um produto interno em
? Ou seja, devemos verificar se a aplicação satisfaz as propriedades necessárias para ser produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que precisa ser verificado — explico cada propriedade de forma direta e simples:
- Simetria: para quaisquer
deve valer
Isto significa que trocar a ordem dos vetores não altera o valor.
- Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para quaisquer
e qualquer escalar deve valer
e análogas no segundo argumento. Isso quer dizer que, fixando um dos argumentos, a aplicação é uma função linear do outro.
- Definida-positiva: para todo
,
e além disso
Isto garante que a “norma” associada seja não-negativa e só zere no vetor nulo.
Agora vamos checar cada uma dessas propriedades para a forma dada.
Passo 3
Verificação da simetria. Calculo
trocando
por
na expressão:
Como a multiplicação de escalares é comutativa, podemos reescrever os termos em ordem
:
Comparando com a definição original
vemos que os termos coincidem (a ordem de
e
pode ser trocada pelo fato de
). Logo
portanto a forma é simétrica.
Passo 4
Verificação da linearidade no primeiro argumento (o resto segue por simetria). Seja
com
,
,
. Calculo
Distribuindo,
Ou seja,
Para multiplicação por escalar
,
Portanto a aplicação é linear no primeiro argumento. Pela simetria já provada, ela também é linear no segundo argumento. Assim a forma é bilinear (linear em cada argumento).
Passo 5
Verificação da positividade. Calculo
substituindo
:
Como
, temos
Agora reescrevo de forma positiva (completando quadrado):
Essa identidade é fácil de checar expandindo
. Como soma de quadrados, o lado direito é sempre
. Além disso,
implica que
e
, então
e
dão
. Portanto
só ocorre para
. Assim a forma é definida-positiva.
Passo 6
Como mostramos: (i) simetria, (ii) linearidade em cada argumento e (iii) definida-positiva, concluímos que a aplicação satisfaz todas as propriedades exigidas para ser um produto interno em
. Pequeno lembrete prático: também podemos escrever a forma em notação matricial como
e verificamos que
é simétrica e a forma quadrática
é positiva para todo
, o que é outra maneira comum de ver que é produto interno.]
Resposta
Sim,
define um produto interno em
.