Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
\begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{V} \times \mathbb{V} & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ (u, v) & \mapsto\langle u, v\rangle . \end{aligned}
definem um produto interno sobre o espaço vetorial \mathbb{V}.
(f) \mathbb{V}=\mathbb{R}^{2} \mathrm{e}\langle u, v\rangle=2 u_{1} v_{1}-u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}+u_{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{V}=\mathbb{R}^{2} e a aplicação
(u,v)\mapsto \langle u,v\rangle = 2u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+u_{2}v_{2},
onde u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}). A pergunta é: essa aplicação define um produto interno em \mathbb{R}^{2}? Ou seja, devemos verificar se a aplicação satisfaz as propriedades necessárias para ser produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que precisa ser verificado — explico cada propriedade de forma direta e simples:
  1. Simetria: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2 deve valer
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
Isto significa que trocar a ordem dos vetores não altera o valor.
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para quaisquer u,w,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} deve valer
\langle u+w, v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle,
\langle \alpha u, v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle,
e análogas no segundo argumento. Isso quer dizer que, fixando um dos argumentos, a aplicação é uma função linear do outro.
  1. Definida-positiva: para todo u\in\mathbb{R}^2,
\langle u,u\rangle \ge 0
e além disso
\langle u,u\rangle = 0 \iff u = (0,0).
Isto garante que a “norma” associada seja não-negativa e só zere no vetor nulo.
Agora vamos checar cada uma dessas propriedades para a forma dada.

Passo 3

Verificação da simetria. Calculo \langle v,u\rangle trocando u por v na expressão:
\langle v,u\rangle = 2v_{1}u_{1}-v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}+v_{2}u_{2}.
Como a multiplicação de escalares é comutativa, podemos reescrever os termos em ordem u_{i}v_{j}:
\langle v,u\rangle = 2u_{1}v_{1}-u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{2}v_{2}.
Comparando com a definição original
\langle u,v\rangle = 2u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+u_{2}v_{2},
vemos que os termos coincidem (a ordem de u_{1}v_{2} e u_{2}v_{1} pode ser trocada pelo fato de u_i v_j = v_j u_i). Logo
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle,
portanto a forma é simétrica.

Passo 4

Verificação da linearidade no primeiro argumento (o resto segue por simetria). Seja u,w,v\in\mathbb{R}^2 com u=(u_1,u_2), w=(w_1,w_2), v=(v_1,v_2). Calculo
\langle u+w, v\rangle = 2(u_1+w_1)v_1 - (u_1+w_1)v_2 - (u_2+w_2)v_1 + (u_2+w_2)v_2.
Distribuindo,
\langle u+w, v\rangle = \big(2u_1v_1-u_1v_2-u_2v_1+u_2v_2\big) + \big(2w_1v_1-w_1v_2-w_2v_1+w_2v_2\big).
Ou seja,
\langle u+w, v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle.
Para multiplicação por escalar \alpha,
\langle \alpha u, v\rangle = 2(\alpha u_1)v_1 - (\alpha u_1)v_2 - (\alpha u_2)v_1 + (\alpha u_2)v_2 = \alpha\langle u,v\rangle.
Portanto a aplicação é linear no primeiro argumento. Pela simetria já provada, ela também é linear no segundo argumento. Assim a forma é bilinear (linear em cada argumento).

Passo 5

Verificação da positividade. Calculo \langle u,u\rangle substituindo v=u:
\langle u,u\rangle = 2u_{1}^{2} - u_{1}u_{2} - u_{2}u_{1} + u_{2}^{2}.
Como -u_{1}u_{2}-u_{2}u_{1} = -2u_{1}u_{2}, temos
\langle u,u\rangle = 2u_{1}^{2} - 2u_{1}u_{2} + u_{2}^{2}.
Agora reescrevo de forma positiva (completando quadrado):
\langle u,u\rangle = (u_{1}-u_{2})^{2} + u_{1}^{2}.
Essa identidade é fácil de checar expandindo (u_1-u_2)^2 + u_1^2 = (u_1^2 -2u_1u_2 + u_2^2) + u_1^2 = 2u_1^2 -2u_1u_2 + u_2^2. Como soma de quadrados, o lado direito é sempre \ge 0. Além disso, \langle u,u\rangle = 0 implica que u_1^2 = 0 e (u_1-u_2)^2 = 0, então u_1=0 e u_1-u_2=0 dão u_2=0. Portanto \langle u,u\rangle = 0 só ocorre para u=(0,0). Assim a forma é definida-positiva.

Passo 6

Como mostramos: (i) simetria, (ii) linearidade em cada argumento e (iii) definida-positiva, concluímos que a aplicação satisfaz todas as propriedades exigidas para ser um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Pequeno lembrete prático: também podemos escrever a forma em notação matricial como
\langle u,v\rangle = u^{T} A v,\quad A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},
e verificamos que A é simétrica e a forma quadrática u^{T}Au é positiva para todo u\ne 0, o que é outra maneira comum de ver que é produto interno.]

Resposta

Sim, \langle u,v\rangle = 2u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+u_{2}v_{2} define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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