Questão 8. Seja \mathcal{B} uma base qualquer (finita) de um espaço vetorial E. Mostre que existe um único produto interno em E que faz de \mathcal{B} uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\} é uma base finita de um espaço vetorial E. Queremos construir um produto interno em E tal que \mathcal{B} seja ortonormal e mostrar que esse produto interno é único. Para isso, usaremos coordenadas em relação a \mathcal{B} e as propriedades axiomáticas de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade).

Passo 2

Definimos, para cada vetor v\in E, suas coordenadas (v_1,\dots,v_n) em relação a \mathcal{B} pela igualdade
v = \sum_{i=1}^n v_i\,b_i.
De maneira análoga, se w\in E tem coordenadas (w_1,\dots,w_n), definimos
\langle v,w\rangle \;=\; \sum_{i=1}^n v_i\,w_i.
Essa é a definição canônica de produto interno “padrão” nas coordenadas.

Passo 3

Mostramos que \langle\cdot,\cdot\rangle é bilinear e simétrica:
  1. Para quaisquer v,v',w\in E com coordenadas (v_i), (v'_i), (w_i) e escalar \alpha, \langle v+v',w\rangle = \sum_{i=1}^n (v_i+v'_i)\,w_i = \sum_{i=1}^n v_i\,w_i \;+\;\sum_{i=1}^n v'_i\,w_i = \langle v,w\rangle + \langle v',w\ranglee \langle \alpha v,w\rangle = \sum_{i=1}^n (\alpha v_i)\,w_i = \alpha\sum_{i=1}^n v_i\,w_i = \alpha\,\langle v,w\rangle.
  2. Simetria: \langle v,w\rangle = \sum_{i=1}^n v_i\,w_i = \sum_{i=1}^n w_i\,v_i = \langle w,v\rangle.

Passo 4

Verificamos positividade: se v\neq0 então alguma coordenada v_k\neq0, e
\langle v,v\rangle = \sum_{i=1}^n v_i^2 \;>\;0.
Logo \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em E. Além disso, para cada i,j,
\langle b_i,b_j\rangle = \sum_{k=1}^n (\delta_{ik})(\delta_{jk}) = \delta_{ij},
ou seja, \mathcal{B} é ortonormal nesse produto interno.

Passo 5

Suponha agora que exista outro produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle' em E fazendo \mathcal{B} ortonormal. Dados v=\sum_i v_i b_i e w=\sum_i w_i b_i, pela bilinearidade e pelo fato de
\langle b_i,b_j\rangle'=\delta_{ij}, obtemos
\langle v,w\rangle' = \sum_{i,j}v_i\,w_j\,\langle b_i,b_j\rangle' = \sum_{i,j}v_i\,w_j\,\delta_{ij} = \sum_{i=1}^n v_i\,w_i.
Logo \langle v,w\rangle'=\langle v,w\rangle para todos v,w, mostrando a unicidade.

Resposta

Foi construído explicitamente o produto interno padrão nas coordenadas de \mathcal{B}, que satisfaz todos os axiomas e torna \mathcal{B} ortonormal. A argumentação de que qualquer outro produto interno com essa propriedade coincide com este garante a unicidade.

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