Questão 8. Seja
uma base qualquer (finita) de um espaço vetorial
. Mostre que existe um único produto interno em
que faz de
uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base finita de um espaço vetorial
. Queremos construir um produto interno em
tal que
seja ortonormal e mostrar que esse produto interno é único. Para isso, usaremos coordenadas em relação a
e as propriedades axiomáticas de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade).
Passo 2
Definimos, para cada vetor
, suas coordenadas
em relação a
pela igualdade
De maneira análoga, se
tem coordenadas
, definimos
Essa é a definição canônica de produto interno “padrão” nas coordenadas.
Passo 3
Mostramos que
é bilinear e simétrica:
- Para quaisquer
com coordenadas , , e escalar , e - Simetria:
Passo 4
Verificamos positividade: se
então alguma coordenada
, e
Logo
é um produto interno em
. Além disso, para cada
,
ou seja,
é ortonormal nesse produto interno.
Passo 5
Suponha agora que exista outro produto interno
em
fazendo
ortonormal. Dados
e
, pela bilinearidade e pelo fato de
, obtemos
Logo
para todos
, mostrando a unicidade.
Resposta
Foi construído explicitamente o produto interno padrão nas coordenadas de
, que satisfaz todos os axiomas e torna
ortonormal. A argumentação de que qualquer outro produto interno com essa propriedade coincide com este garante a unicidade.