Questão 6. Dados inteiros positivos m, n, seja V=\mathbb{R}^{m \times n} o espaço vetorial das matrizes de ordem m \times n. Mostre que a função
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{T} B\right)
define um produto interno em V.
Dada qualquer matriz X de ordem m \times m, considere o operador linear
M_{X}: V \rightarrow V, \quad M_{X}(A)=X A .
Mostre que a adjunta de M_{X} com respeito ao produto interno acima é M_{X^{T}}.

Passo 1

O enunciado está em dois blocos. Primeiro, em V=\mathbb{R}^{m\times n} definimos
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(A^T B\bigr)
e precisamos mostrar que isso é um produto interno: ou seja, que é bilinear em cada argumento, simétrico e definido positivo.
Depois, para uma matriz fixa X\in\mathbb{R}^{m\times m}, consideramos o operador linear
M_X\colon V\to V,\quad M_X(A)=X\,A
e devemos provar que sua adjunta (relativa ao produto interno acima) é
M_{X^T}\colon V\to V,\quad M_{X^T}(A)=X^T A.

Passo 2

Verificação de bilinearidade e simetria.
1. Linearidade em cada argumento segue das propriedades da transposta e do traço: para escalares \alpha,\beta e matrizes A,A',B,B',
\langle \alpha A+\beta A',\,B\rangle =\operatorname{tr}\bigl((\alpha A+\beta A')^T B\bigr) =\alpha\,\operatorname{tr}(A^T B)+\beta\,\operatorname{tr}(A'^T B) =\alpha\langle A,B\rangle+\beta\langle A',B\rangle.
De modo análogo, linearidade no segundo argumento.
2. Simetria:
\langle A,B\rangle =\operatorname{tr}(A^T B) =\operatorname{tr}\bigl((A^T B)^T\bigr) =\operatorname{tr}(B^T A) =\langle B,A\rangle,
onde usamos \operatorname{tr}(M^T)=\operatorname{tr}(M).

Passo 3

Positividade definida.
Para qualquer A \in V,
\langle A,A\rangle =\operatorname{tr}(A^T A).
Mas A^T A é uma matriz simétrica e positiva semidefinida, e em coordenadas
\operatorname{tr}(A^T A)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2\ge0.
Além disso, \operatorname{tr}(A^T A)=0 se e só se todos a_{ij}=0, i.e.\ A=0. Logo é definido positivo.

Passo 4

Cálculo da adjunta de M_X.
Por definição, o adjunto M_X^* satisfaz
\langle M_X(A),\,B\rangle =\langle A,\,M_X^*(B)\rangle \quad\text{para todos }A,B\in V.
Mas
\langle M_X(A),B\rangle =\operatorname{tr}\bigl((X A)^T B\bigr) =\operatorname{tr}\bigl(A^T X^T B\bigr) =\langle A,\,X^T B\rangle.
Comparando com a definição de adjunta, vemos que
M_X^*(B)=X^T B,
isto é, M_X^*=M_{X^T}.

Resposta

Mostramos que \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^T B) é bilinear, simétrico e definido positivo, logo é um produto interno em V. Em seguida, mostramos que para M_X(A)=X A vale
\langle M_X(A),B\rangle =\langle A,M_{X^T}(B)\rangle,
portanto a adjunta de M_X é M_{X^T}.

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