Questão 6. Dados inteiros positivos
, seja
o espaço vetorial das matrizes de ordem
. Mostre que a função
define um produto interno em
.
Dada qualquer matriz
de ordem
, considere o operador linear
Mostre que a adjunta de
com respeito ao produto interno acima é
.
Dada qualquer matriz
Passo 1
O enunciado está em dois blocos. Primeiro, em
definimos
e precisamos mostrar que isso é um produto interno: ou seja, que é bilinear em cada argumento, simétrico e definido positivo.
Depois, para uma matriz fixa , consideramos o operador linear
Depois, para uma matriz fixa
e devemos provar que sua adjunta (relativa ao produto interno acima) é
Passo 2
Verificação de bilinearidade e simetria.
. Linearidade em cada argumento segue das propriedades da transposta e do traço: para escalares
e matrizes
,
De modo análogo, linearidade no segundo argumento.
. Simetria:
onde usamos
.
Passo 3
Positividade definida.
Para qualquer ,
Para qualquer
Mas
é uma matriz simétrica e positiva semidefinida, e em coordenadas
Além disso,
se e só se todos
, i.e.\
. Logo é definido positivo.
Passo 4
Cálculo da adjunta de
.
Por definição, o adjunto satisfaz
Por definição, o adjunto
Mas
Comparando com a definição de adjunta, vemos que
isto é,
.
Resposta
Mostramos que
é bilinear, simétrico e definido positivo, logo é um produto interno em
. Em seguida, mostramos que para
vale
portanto a adjunta de
é
.