Questão 5. Seja
o espaço das matrizes reais de ordem
(em que
é um inteiro positivo), munido do produto interno dado por
Prove que o complemento ortogonal do subespaço das matrizes simétricas é o subespaço das matrizes antissimétricas.
Passo 1
O enunciado considera o espaço real
com o produto interno de Frobenius
Definimos o subespaço
das matrizes simétricas e seu complemento ortogonal
Queremos mostrar que
isto é,
é exatamente o subespaço das matrizes antissimétricas.
Passo 2
Mostramos primeiro que toda matriz antissimétrica
satisfaz
para todo
. Se
e
, então
Mas também, usando
e
,
Daí
e logo
. Assim toda matriz antissimétrica pertence a
.
Passo 3
Agora provamos que se
então
é antissimétrica. Como
, vale
para todo
simétrica. Tomemos as seguintes matrizes simétricas de teste:
onde
. Então
logo todos os elementos da diagonal de
são zero. Agora, para
, consideremos
que é simétrica. Daí
logo
. Com isso obtemos
, ou seja,
é antissimétrica.
Passo 4
Juntando os resultados dos Passos 2 e 3, concluímos que
isto é, o complemento ortogonal de
é exatamente o subespaço das matrizes antissimétricas.
Resposta
O complemento ortogonal do subespaço das matrizes simétricas é o subespaço das matrizes antissimétricas.