Questão 4 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}, \mathbb{R}^{2}\right) com T(x+2)=(0,2), T\left(x^{2}-1\right)=(0,0) e T(x)=(1,1).
(a) Determine T\left((x-1)^{2}\right);
(b) A matriz [T]_{H}^{G} com G=\left\{x+2,(x-1)^{2}, x\right\} sendo base de \mathcal{P}_{2} e H=\{(0,1),(1,0)\} é base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

Resumindo, temos T\colon \mathcal{P}_{2}\to\mathbb{R}^{2} linear, com
T(x+2)=(0,2),\quad T(x^2-1)=(0,0),\quad T(x)=(1,1).
(a) pede T\bigl((x-1)^2\bigr).
(b) pede a matriz [T]_{H}^{G}, onde
G=\{\,x+2,\,(x-1)^2,\,x\},\quad H=\{(0,1),\,(1,0)\}.

Passo 2

Escrevemos (x-1)^2 como combinação dos polinômios cujas imagens conhecemos, isto é, de x+2, x^2-1 e x. Suponha
(x-1)^2 = a(x+2) + b(x^2-1) + c\,x.
Igualando coeficientes em x^2-2x+1 obtemos
b=1,\quad a+c=-2,\quad 2a-b=1
que dá a=1, b=1, c=-3. Logo
(x-1)^2 = 1\cdot(x+2) + 1\cdot(x^2-1) - 3\,x.

Passo 3

Pela linearidade de T,
T\bigl((x-1)^2\bigr) = T(x+2) + T(x^2-1) - 3\,T(x) = (0,2) + (0,0) - 3\,(1,1) = (-3,-1).

Passo 4

Para achar [T]_{H}^{G} precisamos as coordenadas de cada T(g) em relação a H=\{h_1,h_2\} com h_1=(0,1), h_2=(1,0). Se v=(v_x,v_y) então
v = \alpha\,h_1 + \beta\,h_2 = \alpha\,(0,1) + \beta\,(1,0) = (\beta,\alpha),
logo \alpha=v_y, \beta=v_x.
Aplicando a isso: T(x+2)=(0,2) dá coordenadas (2,0). T((x-1)^2)=(-3,-1) dá coordenadas (-1,-3). T(x)=(1,1) dá coordenadas (1,1).

Passo 5

A matriz de T relativa a G e H tem colunas formadas por essas coordenadas, na ordem de G:
[T]_{H}^{G} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T\bigl((x-1)^2\bigr)=(-3,-1).
(b) [T]_{H}^{G}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}.

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