Questão 7 ( 1,0 pt) Seja
, então
□
□
□
□
□
□
□
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a transformada de Laplace de
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: calcular
(ou seja, a transformada de Laplace de ). - As alternativas sugerem formas racionais em
; portanto queremos uma expressão fechada em .
Passo 2
Definição útil: a transformada de Laplace de uma função
(para
) é
Vou usar essa definição junto com duas ideias padrão: a expressão da função hiperbólica
em termos de exponenciais e o teorema do deslocamento (shifting) para fatores
.
Passo 3
Primeiro calculemos a transformada de
. Lembre que
Usando a definição da transformada,
Agora avaliamos cada integral (supondo
para convergência da primeira integral):
Portanto
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida. Colocando sobre o mesmo denominador:
Portanto
Passo 5
Agora use o teorema do deslocamento (shifting) para exponenciais: se
então, para qualquer constante
,
Justificação rápida: escrevendo a integral,
A região de convergência desloca-se correspondemente (precisamos de
limite anterior).
Passo 6
Aplicando o teorema com
e
(cuja transformada é
), obtemos
A região de convergência para essa transformada exige
, ou seja
. Entre os métodos possíveis, usei o teorema do deslocamento porque é curto e direto (poderíamos também calcular a integral diretamente, mas seria redundante).