Questão 6 ( 1,0 pt) Usando derivação de transformadas de Laplace, encontre \mathcal{L}[f(t)] se f(t)=t e^{-2 t} \sin t.
□ \frac{2 s-4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}} □ \frac{24 s^{2}-128}{\left(s^{2}-16\right)^{2}} □ \frac{24 s^{2}+128}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
□ \frac{2 s+4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}} □ \frac{24 s^{2}+128}{\left(s^{2}-16\right)^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(t)=t e^{-2 t}\sin t\, e pede para encontrar a transformada de Laplace \mathcal{L}[f(t)].
Informações relevantes fornecidas:
A função é o produto de três fatores: t, e^{-2t} e \sin t.
Queremos \mathcal{L}[\,t e^{-2t}\sin t\,].
Não se pede outro resultado além da transformada.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades fundamentais da transformada de Laplace que usaremos (vou explicar de forma didática o porquê de cada uma):
Propriedade 1 — multiplicação por t: para uma função g(t) com transformada G(s)=\mathcal{L}[g(t)], vale
\mathcal{L}[t\,g(t)] = -\frac{d}{ds}G(s).
Explicação e demonstração curta: escrevendo G(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}g(t)\,dt e diferenciando em relação a s porbaixo do sinal de integral (hipótese de troca válida para funções usuais), obtemos
Rearranjando, chega-se à propriedade dada. Aqui cada símbolo significa: s é a variável do domínio da transformada, t é a variável de tempo da função original, e G(s) é a transformada de g(t).
Propriedade 2 — deslocamento/exponencial: para qualquer a\in\mathbb{R} e função h(t) com transformada H(s)=\mathcal{L}[h(t)],
\mathcal{L}[e^{-a t}h(t)] = H(s+a).
Explicação curta: substituindo s por s+a na integral \int_0^\infty e^{-s t}h(t)\,dt é equivalente a ter o fator e^{-at} multiplicando h(t) dentro da integral.
Vamos aplicar essas propriedades ao nosso caso com calma.
Passo 3
Separe a função em t vezes outra função: defina g(t)=e^{-2t}\sin t. Então
Esse é o valor da transformada buscada. Observação prática: pode também factorar 2(s+2) no numerador, se preferir, mas a forma acima já é totalmente correta.
Passo 6
Verificação rápida com as alternativas do enunciado: a alternativa que coincide com o resultado é \displaystyle \frac{2 s+4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}}.