Questão 6 ( 1,0 pt) Usando derivação de transformadas de Laplace, encontre \mathcal{L}[f(t)] se f(t)=t e^{-2 t} \sin t.
\frac{2 s-4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}} \frac{24 s^{2}-128}{\left(s^{2}-16\right)^{2}} \frac{24 s^{2}+128}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
\frac{2 s+4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}} \frac{24 s^{2}+128}{\left(s^{2}-16\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(t)=t e^{-2 t}\sin t\, e pede para encontrar a transformada de Laplace \mathcal{L}[f(t)].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de três fatores: t, e^{-2t} e \sin t.
  • Queremos \mathcal{L}[\,t e^{-2t}\sin t\,].
    Não se pede outro resultado além da transformada.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais da transformada de Laplace que usaremos (vou explicar de forma didática o porquê de cada uma):
Propriedade 1 — multiplicação por t: para uma função g(t) com transformada G(s)=\mathcal{L}[g(t)], vale
\mathcal{L}[t\,g(t)] = -\frac{d}{ds}G(s).
Explicação e demonstração curta: escrevendo G(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}g(t)\,dt e diferenciando em relação a s porbaixo do sinal de integral (hipótese de troca válida para funções usuais), obtemos
\frac{d}{ds}G(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{d}{ds}\big(e^{-s t}\big)g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-s t}g(t)\,dt=-\mathcal{L}[t\,g(t)].
Rearranjando, chega-se à propriedade dada. Aqui cada símbolo significa: s é a variável do domínio da transformada, t é a variável de tempo da função original, e G(s) é a transformada de g(t).
Propriedade 2 — deslocamento/exponencial: para qualquer a\in\mathbb{R} e função h(t) com transformada H(s)=\mathcal{L}[h(t)],
\mathcal{L}[e^{-a t}h(t)] = H(s+a).
Explicação curta: substituindo s por s+a na integral \int_0^\infty e^{-s t}h(t)\,dt é equivalente a ter o fator e^{-at} multiplicando h(t) dentro da integral.
Vamos aplicar essas propriedades ao nosso caso com calma.

Passo 3

Separe a função em t vezes outra função: defina g(t)=e^{-2t}\sin t. Então
\mathcal{L}[f(t)] = \mathcal{L}[t\,g(t)] = -\frac{d}{ds}\big(\mathcal{L}[g(t)]\big)
pela Propriedade 1 acima. Portanto precisamos primeiro achar \mathcal{L}[g(t)].

Passo 4

Calcule \mathcal{L}[\sin t] (fórmula conhecida):
Para h(t)=\sin t vale
\mathcal{L}[\sin t]=\frac{1}{s^{2}+1}.
(Se quiser, isso vem da integral \int_0^\infty e^{-st}\sin t\,dt; é uma fórmula padrão das transformadas.)
Agora aplique o deslocamento (Propriedade 2) com a=2 porque g(t)=e^{-2t}\sin t. Assim
\mathcal{L}[g(t)]=\mathcal{L}[e^{-2t}\sin t]=\left.\frac{1}{s^{2}+1}\right|_{s\mapsto s+2}=\frac{1}{(s+2)^{2}+1}.
Faça a expansão do quadrado para ficar mais claro:
(s+2)^{2}+1 = s^{2}+4s+4+1 = s^{2}+4s+5.
Portanto
\mathcal{L}[g(t)]=\frac{1}{s^{2}+4s+5}.

Passo 5

Agora volte para \mathcal{L}[t\,g(t)]. Pelas etapas anteriores,
\mathcal{L}[t e^{-2t}\sin t] = -\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+4s+5}\right).
Calcule a derivada passo a passo. Defina
G(s)=\frac{1}{s^{2}+4s+5}=(s^{2}+4s+5)^{-1}.
A derivada de G é (usando regra da cadeia)
G'(s) = -1\cdot(2s+4)\cdot (s^{2}+4s+5)^{-2} = -\frac{2s+4}{(s^{2}+4s+5)^{2}}.
Então
-\frac{d}{ds}G(s) = -G'(s) = -\left(-\frac{2s+4}{(s^{2}+4s+5)^{2}}\right) = \frac{2s+4}{(s^{2}+4s+5)^{2}}.
Esse é o valor da transformada buscada. Observação prática: pode também factorar 2(s+2) no numerador, se preferir, mas a forma acima já é totalmente correta.

Passo 6

Verificação rápida com as alternativas do enunciado: a alternativa que coincide com o resultado é
\displaystyle \frac{2 s+4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2 s+4}{\left(s^{2}+4 s+5\right)^{2}}

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