Questão 4. Seja
um número primo. Considere o conjunto
Com as operações
é um anel. Mostre que
é domínio e exiba o elemento neutro aditivo e a identidade desse anel.
Passo 1
O enunciado define o anel
com as operações usuais de soma e produto em extensões quadráticas. Precisamos mostrar que esse anel é um domínio de integridade (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e identificar o neutro aditivo e a identidade multiplicativa.
Passo 2
Em todo anel, o neutro aditivo é o elemento
que satisfaz
. Aqui basta ver que
Logo o neutro aditivo é
De modo análogo, a identidade multiplicativa
deve satisfazer
. Verifica-se
portanto
Passo 3
Para provar que não há divisores de zero, definimos a norma
Basta verificar que a norma é multiplicativa: se
e
, então
e um cálculo direto mostra
Passo 4
Se
, então
em
. Logo
ou
. Se
, então
Como
é primo,
implica
, digamos
. Substituindo obtém-se
de novo
, e assim por diante, levando a
. Portanto o único elemento de norma zero é o zero do anel. Concluímos que não há divisores de zero não triviais.
Resposta
O neutro aditivo é
e a identidade multiplicativa é
. Além disso, por meio da norma multiplicativa e da primitividade de
,
não possui divisores de zero, sendo assim um domínio de integridade.