Questão 7. Sejam
um domínio e
. Mostre que a função
definida por
é injetiva.
Passo 1
O enunciado diz que
é um domínio (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e que
(isto é,
). Definimos
por
e precisamos mostrar que
é injetiva.
Passo 2
Lembrando o conceito de injetividade:
é injetiva se, sempre que
, tivermos
.
Passo 3
Suponha
. Então
Da igualdade acima segue
Como
é domínio e
, não existem divisores de zero, logo
, ou seja
.
Passo 4
Concluímos que a única maneira de
ocorrer é com
, portanto
é injetiva.
Resposta
A função
é injetiva.