Questão 7. Sejam A um domínio e a \in A^{*}. Mostre que a função \phi_{a}: A \rightarrow A definida por \phi_{a}(x)=a x é injetiva.

Passo 1

O enunciado diz que A é um domínio (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e que a\in A^{*} (isto é, a\neq0). Definimos \phi_{a}:A\to A por
\phi_{a}(x)=a\,x
e precisamos mostrar que \phi_{a} é injetiva.

Passo 2

Lembrando o conceito de injetividade: \phi_{a} é injetiva se, sempre que \phi_{a}(x)=\phi_{a}(y), tivermos x=y.

Passo 3

Suponha \phi_{a}(x)=\phi_{a}(y). Então
a\,x = a\,y.
Da igualdade acima segue
a\,(x - y) = 0.
Como A é domínio e a\neq0, não existem divisores de zero, logo x - y = 0, ou seja x=y.

Passo 4

Concluímos que a única maneira de \phi_{a}(x)=\phi_{a}(y) ocorrer é com x=y, portanto \phi_{a} é injetiva.

Resposta

A função \phi_{a} é injetiva.

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