Prove que se A é um anel qualquer então \forall x, y e z \in A são válidas as propriedades:
(h) (-1) \cdot(-x)=x

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num anel A com elemento neutro multiplicativo 1 e inverso aditivo “ -”, vale
(-1)\cdot(-x)=x\quad\forall x\in A.
Para isso usaremos a definição de inverso aditivo 1+(-1)=0, a propriedade 0\cdot a=0 e a distributividade.

Passo 2

Como 1+(-1)=0, multiplicamos essa igualdade por -x:
(1+(-1))\cdot(-x)=0\cdot(-x).

Passo 3

Pelo axioma de anel temos 0\cdot(-x)=0. Logo,
(1+(-1))\cdot(-x)=0.

Passo 4

Pela distributividade,
1\cdot(-x)+(-1)\cdot(-x)=0.
Como 1\cdot(-x)=-x, segue
-x+(-1)\cdot(-x)=0.
Somando x em ambos os lados, obtemos
(-1)\cdot(-x)=x.

Resposta

(-1)\cdot(-x)=x em qualquer anel A com identidade multiplicativa.

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