Seja w=f(z)=u+v i uma função analítica num domínio (aberto) A. Mostre que:
Se \overline{f(z)} é analítica em A, então f(z) é constante em A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Dado f\colon A\to\mathbb{C} analítica em A (onde A é um domínio — isto é, um conjunto aberto e conexo).
  • Escrevemos f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y), com u,v funções reais definidas em A.
  • É assumido que \overline{f(z)} também é analítica em A.
  • A pergunta: mostrar que f é constante em A.

Passo 2

Lembrando o que significa ser analítica (de forma que vou usar aqui): se f=u+i v é analítica em A e u,v são de classe C^1 (deriváveis parciais contínuas), então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Vou explicar essas equações devagarinho.
  • Notação: u_x significa a derivada parcial de u em relação a x e u_y a derivada parcial em relação a y. Mesmo para v usamos v_x e v_y.
  • As equações de Cauchy–Riemann dizem, para f analítica,
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Elas surgem ao identificar a derivada complexa \dfrac{df}{dz} ao separar componentes reais e imaginárias — aqui não preciso derivar a fórmula, só quero que você guarde essas igualdades e o que significam: relacionam as derivadas parciais de u e v.

Passo 3

Aplicando as equações de Cauchy–Riemann ao f dado (já que f é analítica), obtemos:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Vou manter isso claro, pois vamos comparar com as equações obtidas para \overline{f}.

Passo 4

Agora olhe para g(z)=\overline{f(z)}. Escrevendo em partes reais e imaginárias, temos
g(z)=\overline{f(z)}=u(x,y)-i\,v(x,y).
Se g é analítica em A, então suas partes real e imaginária (que são u e -v, respectivamente) também satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Aplicando isso a g dá:
u_x = (-v)_y,\qquad u_y = -(-v)_x.
Agora escrevemos as derivadas de -v explicitamente:
(-v)_y = -v_y,\qquad (-v)_x = -v_x.
Portanto, as equações para g ficam
u_x = -v_y,\qquad u_y = v_x.

Passo 5

Compare agora as duas coleções de equações (as do Passo 3 e as do Passo 4):
  • De f analítica: u_x = v_y.
  • De \overline{f} analítica: u_x = -v_y.
Juntando essas duas igualdades para u_x obtemos
v_y = u_x = -v_y \quad\Longrightarrow\quad v_y = 0\quad\text{e}\quad u_x = 0.
  • De f analítica: u_y = -v_x.
  • De \overline{f} analítica: u_y = v_x.
Juntando essas duas igualdades para u_y obtemos
-v_x = u_y = v_x \quad\Longrightarrow\quad v_x = 0\quad\text{e}\quad u_y = 0.
Portanto todas as derivadas parciais são zero:
u_x = u_y = v_x = v_y = 0\quad\text{em }A.

Passo 6

Se as derivadas parciais de u são u_x=u_y=0 num conjunto aberto, isso significa que u é localmente constante; como A é conexo (domínio), u é constante em todo A. O mesmo raciocínio vale para v: com v_x=v_y=0 temos v constante em A.
Então u e v são constantes em A, e portanto
f(z)=u+i v
é constante em A.
(Uma observação rápida: se A não fosse conexo, a conclusão válida é que f é constante em cada componente conectada de A. Mas como o enunciado diz domínio, estamos usando que A é conexo.)

Resposta

f é constante em A.

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