Verifique que
é harmônica no domínio
e ache uma conjugada harmônica
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio
, ou seja, no semiplano direito onde
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Verificar que
é harmônica em (isto é, mostrar que a soma das derivadas segundas para ). - Encontrar uma conjugada harmônica
de tal que .
Informações relevantes que já temos: a função
tem derivada
. No domínio dado temos
, então
é bem definido e a função é suave (sem problemas de descontinuidade de ramo do argumento).
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais primeiras de
. Use a regra da cadeia: se
com
, então
Como
e
, temos
. Calcule as derivadas de
:
Portanto
Passo 3
Agora calculo as derivadas segundas e a Laplaciana. Primeiro
. Tomando
e derivando em relação a
(tratando
como constante), uso a regra do quociente. Com
(constante em
) e
obtemos
Agora
. Tomando
e derivando em relação a
(com
constante):
Somando as duas segundas derivadas:
Concluímos que
para todos os pontos com
. Logo
é harmônica em
.
Passo 4
Agora vamos achar uma conjugada harmônica
. Lembrando a relação entre funções harmônicas conjugadas: se
e
são as partes real e imag. de uma função holomorfa
, então valem as equações de Cauchy–Riemann:
Como já calculamos
e
, podemos usar
para integrar em
:
Integração em
(com
constante): faça a substituição
,
. Então
Portanto
onde
é uma função somente de
proveniente da integração.
Passo 5
Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann
para determinar
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Pelo CR deve valer
. Mas
, então
Comparando com a expressão de
temos
, portanto
. Logo
é constante:
.
Assim uma conjugada harmônica (à constante aditiva perto) é
Passo 6
Impondo a condição
para determinar a constante
: avaliando
Queremos que isso seja
, logo
e portanto
.
Portanto a conjugada pedida é