Verifique que v=v(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) é harmônica no domínio A= \{z=\in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}(z)>0\} e ache uma conjugada harmônica u=u(x, y) tal que u(\sqrt{e}, 0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a função v=v(x,y)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right) definida no domínio A=\{z=x+iy\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\}, ou seja, no semiplano direito onde x>0.
O que é pedido:
  • Verificar que v é harmônica em A (isto é, mostrar que a soma das derivadas segundas \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0 para x>0).
  • Encontrar uma conjugada harmônica u(x,y) de v tal que u(\sqrt{e},0)=1.
Informações relevantes que já temos: a função \operatorname{arctg}(t) tem derivada \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\dfrac{1}{1+t^2}. No domínio dado temos x>0, então y/x é bem definido e a função é suave (sem problemas de descontinuidade de ramo do argumento).

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais primeiras de v. Use a regra da cadeia: se v(x,y)=\operatorname{arctg}(t) com t=\dfrac{y}{x}, então
v_x=\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)\cdot\frac{\partial t}{\partial x},\qquad v_y=\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)\cdot\frac{\partial t}{\partial y}.
Como \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\dfrac{1}{1+t^2} e t=\dfrac{y}{x}, temos \,1+t^2=1+\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{x^2+y^2}{x^2}\,. Calcule as derivadas de t:
\frac{\partial t}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^2},\qquad \frac{\partial t}{\partial y}=\frac{1}{x}.
Portanto
v_x=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) =\frac{-y/x^2}{(x^2+y^2)/x^2}=-\frac{y}{x^2+y^2},
v_y=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1/x}{(x^2+y^2)/x^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 3

Agora calculo as derivadas segundas e a Laplaciana. Primeiro v_{xx}. Tomando v_x=-\dfrac{y}{x^2+y^2} e derivando em relação a x (tratando y como constante), uso a regra do quociente. Com N=-y (constante em x) e D=x^2+y^2 obtemos
v_{xx}=\frac{N' D - N D'}{D^2}=\frac{0\cdot D - (-y)\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
Agora v_{yy}. Tomando v_y=\dfrac{x}{x^2+y^2} e derivando em relação a y (com x constante):
v_{yy}=\frac{0\cdot D - x\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
Somando as duas segundas derivadas:
v_{xx}+v_{yy}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}=0.
Concluímos que \, \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0 para todos os pontos com x>0. Logo v é harmônica em A.

Passo 4

Agora vamos achar uma conjugada harmônica u. Lembrando a relação entre funções harmônicas conjugadas: se u e v são as partes real e imag. de uma função holomorfa f=u+iv, então valem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Como já calculamos v_y=\dfrac{x}{x^2+y^2} e v_x=-\dfrac{y}{x^2+y^2}, podemos usar u_x=v_y para integrar em x:
u_x=\frac{x}{x^2+y^2}.
Integração em x (com y constante): faça a substituição s=x^2+y^2, ds=2x\,dx. Então
\int \frac{x}{x^2+y^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{s}\,ds=\frac{1}{2}\ln s+\text{const}=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C(y).
Portanto
u(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C(y),
onde C(y) é uma função somente de y proveniente da integração.

Passo 5

Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x para determinar C(y). Calculo u_y a partir da expressão obtida:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)\right)+C'(y) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2y}{x^2+y^2}+C'(y)=\frac{y}{x^2+y^2}+C'(y).
Pelo CR deve valer u_y=-v_x. Mas v_x=-\dfrac{y}{x^2+y^2}, então
u_y=-v_x= -\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)=\frac{y}{x^2+y^2}.
Comparando com a expressão de u_y temos \dfrac{y}{x^2+y^2}+C'(y)=\dfrac{y}{x^2+y^2}, portanto C'(y)=0. Logo C(y) é constante: C(y)=C.
Assim uma conjugada harmônica (à constante aditiva perto) é
u(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C.

Passo 6

Impondo a condição u(\sqrt{e},0)=1 para determinar a constante C: avaliando
u(\sqrt{e},0)=\frac{1}{2}\ln\big((\sqrt{e})^2+0^2\big)+C=\frac{1}{2}\ln(e)+C=\frac{1}{2}\cdot 1 + C=\frac{1}{2}+C.
Queremos que isso seja 1, logo \dfrac{1}{2}+C=1 e portanto C=\dfrac{1}{2}.
Portanto a conjugada pedida é
u(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\frac{1}{2}.

Resposta

v é harmônica em A.\n u(x,y)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\dfrac{1}{2}

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