Questão 3 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) com
T(x, y, z)=(z, x-y, z)
(a) Determine os autovalores e autovetores de T;
(b) Verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(z,\;x-y,\;z)
(a) encontrar todos os autovalores \lambda e seus autovetores não nulos;
(b) checar se há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores (isto é, se T é diagonalizável).
Usaremos a matriz de T na base canônica, calcularemos o polinômio característico \det(A-\lambda I), acharemos as soluções \lambda e, para cada \lambda, resolveremos (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) temos
T(e_1)= (0,1,0),\quad T(e_2)= (0,-1,0),\quad T(e_3)= (1,0,1).
Logo, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 1 & -1-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda&0\\\ 1&-1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl(\lambda(1+\lambda)\bigr).
Portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda\,(\lambda+1)\,(1-\lambda),
e os autovalores são
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=0,\quad \lambda_3=-1,
todos simples.

Passo 3

Para cada [\lambda) resolvemos (A-\lambda I)v=0:
  1. \lambda=1:
    (A-I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} -x+z=0,\\\ x-(1+1)y=0,\\\\ 0=0. \end{cases}
    Da primeira equação z=x\]. Da segunda \[x-2y=0\implies x=2y.
    Logo v=(x,y,z)=(2y,y,2y)=y\,(2,1,2).
    Autovetor: (2,1,2).
  2. \lambda=0:
    A v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} z=0,\\\ x-y=0,\\\ z=0. \end{cases}
    Da segunda x=y\], e \[z=0.
    Logo v=(t,t,0)=t\,(1,1,0).
    Autovetor: (1,1,0).
  3. \lambda=-1:
    (A+I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} z+ x=0,\\\ x-(-1+1)y=0\implies x=0,\\\ z+(-1)z=0\implies 0=0. \end{cases}
    Da segunda x=0\]. Da primeira \(z=0.
    Sobrou y livre: v=(0,y,0)=y\,(0,1,0).
    Autovetor: (0,1,0).
Cada autovalor tem um autovetor não nulo associado, e os três autovetores (2,1,2), (1,1,0) e (0,1,0) são linearmente independentes.

Passo 4

Como obtivemos três autovalores distintos e, para cada um, um autovetor independente, temos uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Logo T é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=1,0,-1 com autovetores, respectivamente,
(2,1,2),\quad (1,1,0),\quad (0,1,0).
(b) T é diagonalizável.

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