(a) encontrar todos os autovalores \lambda e seus autovetores não nulos;
(b) checar se há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores (isto é, se T é diagonalizável).
Usaremos a matriz de T na base canônica, calcularemos o polinômio característico \det(A-\lambda I), acharemos as soluções \lambda e, para cada \lambda, resolveremos (A-\lambda I)v=0.
Passo 2
Na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) temos
Sobrou y livre: v=(0,y,0)=y\,(0,1,0).
Autovetor: (0,1,0).
Cada autovalor tem um autovetor não nulo associado, e os três autovetores (2,1,2), (1,1,0) e (0,1,0) são linearmente independentes.
Passo 4
Como obtivemos três autovalores distintos e, para cada um, um autovetor independente, temos uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Logo T é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=1,0,-1 com autovetores, respectivamente,