Questão 4 Seja
um espaço vetorial de funções reais com relação à soma e multiplicação usual de funções. É possível mostrar que o conjunto
é linearmente independente e, portanto,
. Considere o operador diferencial
definido por
.
(a) Determine os autovalores e autovetores de
;
(b) Verifique se
é diagonalizável.
(a) Determine os autovalores e autovetores de
(b) Verifique se
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço de dimensão
, e
é o operador
.
Precisamos encontrar os autovalores e vetores próprios não nulos
tais que
Precisamos encontrar os autovalores
e depois ver se
admite uma base de autovetores (ou seja, se é diagonalizável).
Passo 2
Para achar os autovalores, resolvemos a EDO
A solução geral dessa equação é
Logo, qualquer potencial vetor próprio em V deve ser da forma
(até escalares) e ainda pertencer ao span
.
Passo 3
Verificamos para quais valores de
a função
se escreve como combinação linear de
.
- Se
, então . - Se
, então . - Para
, não pode ser gerada por (pois são funções de naturezas linear/poliexponencial distintas).
Portanto, os únicos autovalores possíveis são
Passo 4
Agora achamos os autovetores associados:
- Para
, a equação dá , constante. Logo o espaço próprio é
- Para
, a equação dá . Então
Em cada caso o espaço próprio tem dimensão
.
Passo 5
Como
, para D ser diagonalizável precisaríamos de
autovetores linearmente independentes. Mas encontramos apenas
para
e
para
, totalizando
.
Logo a soma das dimensões dos espaços próprios é , ou seja, faltam autovetores para formar base.
Logo a soma das dimensões dos espaços próprios é
Resposta
(a) Os autovalores são
com autovetor
e
com autovetor
.
(b) Não—D não é diagonalizável.
(b) Não—D não é diagonalizável.