Questão 2 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\right) com
T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b
(a) Determine os autovalores de T;
(b) Sem determinar os autovetores, verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) por
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{2}+c x+b.
Queremos (a) os autovalores de T e (b) sem achar autovetores, verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos usar a equação de autovalor e propriedades do polinômio mínimo.

Passo 2

Escrevemos a condição de autovalor: se p(x)=a x^{2}+b x+c for autovetor associado a \lambda, então
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=\lambda\,(a x^{2}+b x+c).
Isto é,
a x^{2}+c x+b = \lambda a x^{2} + \lambda b x + \lambda c.
Comparando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} a = \lambda\,a,\\\ c = \lambda\,b,\\\ b = \lambda\,c. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação a = \lambda a temos duas situações:
  1. a\neq 0. Então \lambda=1.
  2. a=0. Neste caso trabalhamos apenas com b e c nas outras duas equações.

Passo 4

Se a=0, as duas equações restantes são
c = \lambda b, \quad b = \lambda c.
Substituindo c=\lambda b na segunda dá
b = \lambda(\lambda b) \;\Longrightarrow\; (\lambda^2-1)\,b=0.
Para existir autovetor não trivial com b\neq0 exige \lambda^2-1=0, ou seja \lambda=\pm1.

Passo 5

Reunindo os casos:
  • \lambda=1:
    Pode vir de a\neq0 (com b,c livres sujeitos a c=b) ou de a=0 (com b\neq0, c=b). O espaço próprio de \lambda=1 é bidimensional, mas para resposta de (a) basta anotar \lambda=1.
  • \lambda=-1:
    Só aparece no caso a=0, com c=-b. É um autovalor de multiplicidade geométrica 1.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=1, \quad \lambda_{2}=-1.

Passo 6

Para verificar diagonalizabilidade sem achar autovetores, observamos que
T^2\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr) = T\bigl(a x^{2}+c x+b\bigr) = a x^{2}+b x+c,
isto é, T^2 = I. Logo o polinômio mínimo de T divide
\lambda^2 -1 = (\lambda -1)(\lambda+1),
que não tem raízes repetidas. Um operador cujo polinômio mínimo se separa em fatores lineares distintos é sempre diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são \;1 e -1.
(b) T é diagonalizável, pois seu polinômio mínimo tem raízes simples.

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