Questão 1 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) com
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\\ c & d \end{array}\right) .
(a) Determine os autovalores de T;
(b) Sem determinar os autovetores, verifique se T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
T\colon \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}), \quad T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) = \begin{pmatrix}a+b & b\\\ c & d\end{pmatrix},
e pede (a) os autovalores de T e (b) verificar sem achar autovetores se T é diagonalizável. Vamos usar representação matricial em base canônica, determinar o polinômio característico e usar o polinômio minimal ou a dimensão do espaço próprio.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.
Passo 4
Para decidir se T é diagonalizável, basta ver que o polinômio minimal de [T] é
m_T(\lambda)=(\lambda-1)^2,
pois há um bloco de Jordan de tamanho 2. Como m_T não se fatora em raízes simples, T não é diagonalizável. Alternativamente, \dim\ker([T]-I)=3<4, confirmando a não diagonalizabilidade.
Resposta
(a) O autovalor de T é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.
(b) T não é diagonalizável.