Questão 1 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) com
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\\ c & d \end{array}\right) .
(a) Determine os autovalores de T;
(b) Sem determinar os autovetores, verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}), \quad T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) = \begin{pmatrix}a+b & b\\\ c & d\end{pmatrix},
e pede (a) os autovalores de T e (b) verificar sem achar autovetores se T é diagonalizável. Vamos usar representação matricial em base canônica, determinar o polinômio característico e usar o polinômio minimal ou a dimensão do espaço próprio.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Calculamos as imagens:
T(E_{11})=E_{11},\quad T(E_{12})=E_{11}+E_{12},\quad T(E_{21})=E_{21},\quad T(E_{22})=E_{22}.
Na ordem (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}), a matriz de T é
[T]= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de [T] é
\chi_T(\lambda)=\det\bigl([T]-\lambda I_4\bigr) =(1-\lambda)^4.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.

Passo 4

Para decidir se T é diagonalizável, basta ver que o polinômio minimal de [T] é
m_T(\lambda)=(\lambda-1)^2,
pois há um bloco de Jordan de tamanho 2. Como m_T não se fatora em raízes simples, T não é diagonalizável. Alternativamente, \dim\ker([T]-I)=3<4, confirmando a não diagonalizabilidade.

Resposta

(a) O autovalor de T é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.
(b) T não é diagonalizável.

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