Questão 3 Seja T um operador linear em \mathcal{M}_{36 \times 36}(\mathbb{R}) com
T(A)=A-A^{T}
(a) Calcule a nulidade de T;
(b) Calcule o posto de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathcal{M}_{36\times36}(\mathbb{R})\to \mathcal{M}_{36\times36}(\mathbb{R}) por
T(A)=A - A^T.
Queremos calcular a nulidade de T (dimensão do núcleo) e o posto de T (dimensão da imagem). Para isso, vamos usar:
  1. A definição de núcleo: \ker T=\{A\mid T(A)=0\}.
  2. A definição de imagem: \mathrm{Im}\,T=\{T(A)\mid A\in\mathcal{M}_{36\times36}(\mathbb{R})\}.
  3. As fórmulas de dimensão dos subespaços de matrizes simétricas e antissimétricas:
\dim(\text{simbétricas})=\frac{n(n+1)}{2},\quad \dim(\text{antissimétricas})=\frac{n(n-1)}{2},éé
com n=36.

Passo 2

Para achar \ker T resolvemos T(A)=0, isto é,
A - A^T = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = A^T.
Logo, \ker T é o espaço de todas as matrizes simétricas de ordem 36, cuja dimensão é
\dim\ker T = \frac{36\cdot(36+1)}{2} = \frac{36\cdot37}{2} = 666.
Portanto, a nulidade de T é 666.

Passo 3

Observamos que para qualquer A,
T(A)^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -\,T(A),
ou seja, T(A) é antissimétrica. Assim \mathrm{Im}\,T\subseteq espaço das matrizes antissimétricas. Por outro lado, dado qualquer B antissimétrica, basta tomar A=\tfrac12\,B para ter
T(A)=\tfrac12\,B - \tfrac12\,B^T = \tfrac12\,B - \bigl(-\tfrac12\,B\bigr) = B,
logo \mathrm{Im}\,T é exatamente o espaço das matrizes antissimétricas. A dimensão desse espaço é
\dim\mathrm{Im}\,T = \frac{36\cdot(36-1)}{2} = \frac{36\cdot35}{2} = 630.
Portanto, o posto de T é 630.

Resposta

(a) 666
(b) 630

Exercícios relacionados