Questão 3 Seja
um operador linear em
com
(a) Calcule a nulidade de
;
(b) Calcule o posto de
.
(b) Calcule o posto de
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Queremos calcular a nulidade de
(dimensão do núcleo) e o posto de
(dimensão da imagem). Para isso, vamos usar:
- A definição de núcleo:
. - A definição de imagem:
. - As fórmulas de dimensão dos subespaços de matrizes simétricas e antissimétricas:
com
.
Passo 2
Para achar
resolvemos
, isto é,
Logo,
é o espaço de todas as matrizes simétricas de ordem
, cuja dimensão é
Portanto, a nulidade de
é
.
Passo 3
Observamos que para qualquer
,
ou seja,
é antissimétrica. Assim
espaço das matrizes antissimétricas. Por outro lado, dado qualquer
antissimétrica, basta tomar
para ter
logo
é exatamente o espaço das matrizes antissimétricas. A dimensão desse espaço é
Portanto, o posto de
é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)