Questão 5 Sejam T, U \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) com T(x, y)=(x-y, y) e U(x, y)=(y, y-x). Seja ainda G=\{(1,-1),(0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2}.
(a) Determine [T U]_{G}, a representação matricial do operador T U na base G;
(b) Determine \left[U^{-1} T^{-1}\right]_{G}, a representação matricial do operador U^{-1} T^{-1} na base G.
Passo 1
Vamos recapitular o que pede a questão. Temos dois operadores lineares em \mathbb{R}^2: \displaystyle T(x,y)=(x-y,y) e \displaystyle U(x,y)=(y,y-x).
Também temos a base G=\{g_1=(1,-1),\,g_2=(0,1)\}.
(a) Queremos a matriz de T\circ U na base G.
(b) Queremos a matriz de U^{-1}\circ T^{-1} na mesma base.
Para isso vamos:
Compor T e U para achar T(U(x,y)).
Aplicar essa composição aos vetores de G e achar suas coordenadas em G.
Montar [T U]_G.
Reconhecer que U^{-1}T^{-1}=(T U)^{-1} e inverter a matriz obtida.
Passo 2
Calcular T\circ U. Primeiro \displaystyle U(x,y)=(y,\;y-x).
Em seguida