Questão 5 Sejam T, U \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) com T(x, y)=(x-y, y) e U(x, y)=(y, y-x). Seja ainda G=\{(1,-1),(0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2}.
(a) Determine [T U]_{G}, a representação matricial do operador T U na base G;
(b) Determine \left[U^{-1} T^{-1}\right]_{G}, a representação matricial do operador U^{-1} T^{-1} na base G.

Passo 1

Vamos recapitular o que pede a questão. Temos dois operadores lineares em \mathbb{R}^2: \displaystyle T(x,y)=(x-y,y) e \displaystyle U(x,y)=(y,y-x).
Também temos a base G=\{g_1=(1,-1),\,g_2=(0,1)\}.
(a) Queremos a matriz de T\circ U na base G.
(b) Queremos a matriz de U^{-1}\circ T^{-1} na mesma base.
Para isso vamos:
  1. Compor T e U para achar T(U(x,y)).
  2. Aplicar essa composição aos vetores de G e achar suas coordenadas em G.
  3. Montar [T U]_G.
  4. Reconhecer que U^{-1}T^{-1}=(T U)^{-1} e inverter a matriz obtida.

Passo 2

Calcular T\circ U. Primeiro \displaystyle U(x,y)=(y,\;y-x).
Em seguida
T\bigl(U(x,y)\bigr) = T\bigl(y,\;y-x\bigr) =\bigl(\,y-(y-x),\;y-x\bigr) =(x,\;y-x).
Logo
(TU)(x,y)=(x,\;y-x).

Passo 3

Agora aplicamos (TU) aos vetores de G:
  1. Para g_1=(1,-1):
(TU)(1,-1)=(1,\;-1-1)=(1,-2).
Queremos (1,-2)=a\,(1,-1)+b\,(0,1).
Isso dá o sistema
(a,\;-a+b)=(1,-2) \;\Longrightarrow\; a=1,\;-1+b=-2\;\Longrightarrow\;b=-1.
Logo [(TU)(g_1)]_G=(1,\,-1).
  1. Para g_2=(0,1):
(TU)(0,1)=(0,\;1-0)=(0,1).
Procuramos a,b tais que (0,1)=a\,(1,-1)+b\,(0,1),
(a,\;-a+b)=(0,1) \;\Longrightarrow\; a=0,\;b=1.
Logo [(TU)(g_2)]_G=(0,\,1).

Passo 4

A matriz de TU na base G tem por colunas esses vetores-coluna:
[TU]_G =\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como (TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1}, basta inverter [TU]_G.
A inversa de \displaystyle M=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}
é
M^{-1} =\frac1{1\cdot1-0\cdot(-1)} \begin{pmatrix} 1 & -0\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Logo \displaystyle[U^{-1}T^{-1}]_G=[(TU)^{-1}]_G=M^{-1}.

Resposta

(a) \displaystyle [TU]_G=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [U^{-1}T^{-1}]_G=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.

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