Questão 3. Seja T: V \longrightarrow V operador linear com \operatorname{dim}_{\mathbb{K}} V=2. Mostre que o polinômio característico de p(\lambda) de T é da forma p(\lambda)=\lambda^{2}+a_{1} \lambda+a_{0} onde a_{1}=-\operatorname{tr}([T]) e a_{0}=\operatorname{det}([T]). Aqui [T] é amtriz associada a T e \operatorname{tr}([T]) é o traço desta matriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando V tem dimensão 2 sobre \mathbb{K} e T:V\to V é um operador linear, seu polinômio característico
p(\lambda)=\det\bigl(\lambda I - [T]\bigr)
é da forma
p(\lambda)=\lambda^{2}+a_{1}\,\lambda+a_{0},
sendo preciso identificar a_{1} e a_{0} em termos do traço e do determinante de [T].

Passo 2

Pela definição, se
[T]=\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12}\\\ t_{21} & t_{22} \end{pmatrix},
então
\lambda I - [T] =\begin{pmatrix} \lambda - t_{11} & -\,t_{12}\\\\ -\,t_{21} & \lambda - t_{22} \end{pmatrix}.
O polinômio característico é o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculamos o determinante de uma matriz 2\times2. Em geral,
\det\!\begin{pmatrix} A & B\\\ C & D \end{pmatrix} =AD - BC.
Aplicando em \lambda I - [T], obtemos
\det(\lambda I - [T]) =(\lambda - t_{11})(\lambda - t_{22}) -(-t_{12})(-t_{21}).
Desenvolvendo o produto:
(\lambda - t_{11})(\lambda - t_{22}) =\lambda^{2}- (t_{11}+t_{22})\,\lambda + t_{11}t_{22},
e
-(-t_{12})(-t_{21}) = -\,t_{12}t_{21}.
Somando:
\det(\lambda I - [T]) =\lambda^{2} - (t_{11}+t_{22})\,\lambda + \bigl(t_{11}t_{22}-t_{12}t_{21}\bigr).

Passo 4

Reconhecemos que o traço de [T] é
\operatorname{tr}([T])=t_{11}+t_{22}
e o determinante de [T] é
\det([T])=t_{11}t_{22}-t_{12}t_{21}.
Logo
p(\lambda)=\lambda^{2} - \operatorname{tr}([T])\,\lambda + \det([T]),
o que corresponde a um polinômio \lambda^{2}+a_{1}\lambda+a_{0} com
a_{1}=-\,\operatorname{tr}([T]), \qquad a_{0}=\det([T]).

Resposta

O polinômio característico de T é
p(\lambda)=\lambda^{2} - \operatorname{tr}([T])\,\lambda + \det([T]),
portanto a_{1}=-\operatorname{tr}([T]) e a_{0}=\det([T]).

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