Questão 6. Sejam
operador linear e
autovalor de
.
Mostre que se
, então
é autovalor de
, onde
é a matriz identidade.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
e que
é autovalor de
. Queremos mostrar que, para qualquer
, o número
é autovalor do operador
, onde
é o operador identidade em
. Vamos usar a definição de autovalor e a propriedade
.
Passo 2
Como
é autovalor de
, existe um vetor
,
, tal que
Passo 3
Aplicamos o operador
ao mesmo vetor
. Pela linearidade e pela definição de
, temos
Passo 4
Note que
e
. Isso mostra, pela definição de autovalor, que
é autovalor de
.