Questão 6. Sejam T: V \longrightarrow V operador linear e \lambda \in \mathbb{K} autovalor de T.
Mostre que se \mu \in \mathbb{K}, então \mu+\lambda é autovalor de T+\mu I, onde I é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T\colon V \to V e que \lambda\in\mathbb{K} é autovalor de T. Queremos mostrar que, para qualquer \mu\in\mathbb{K}, o número \lambda+\mu é autovalor do operador T+\mu I, onde I é o operador identidade em V. Vamos usar a definição de autovalor e a propriedade I(v)=v.

Passo 2

Como \lambda é autovalor de T, existe um vetor v\in V, v\neq0, tal que
T(v)=\lambda\,v.

Passo 3

Aplicamos o operador T+\mu I ao mesmo vetor v. Pela linearidade e pela definição de I, temos
(T+\mu I)(v)=T(v)+\mu\,I(v)=\lambda\,v+\mu\,v=(\lambda+\mu)\,v.

Passo 4

Note que v\neq0 e (T+\mu I)(v)=(\lambda+\mu)v. Isso mostra, pela definição de autovalor, que \lambda+\mu é autovalor de T+\mu I.

Resposta

\lambda + \mu é autovalor de T + \mu I.

Exercícios relacionados