Questão 11. Seja
a solução da equação da difusão. Encontre o máximo e o mínimo de
no retângulo fechado
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida no retângulo fechado
. O que se pede é: encontrar o máximo e o mínimo de
nesse retângulo (ou seja, os valores máximos e mínimos e onde eles ocorrem). As informações relevantes são:
- A expressão explícita de
: . - O domínio fechado e limitado:
e . - A constante
aparece no termo temporal; o enunciado não especifica o sinal de , então serão consideradas as possibilidades de sinal (mas, fisicamente, para difusão costuma-se ter ).
Passo 2
Garantia de existência de extremos e estratégia geral (intuição):
é polinomial em
, logo contínua no retângulo fechado e limitado; pelo Teorema do Valor Extremo uma função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Os extremos podem ocorrer em pontos críticos interiores (onde todas as derivadas parciais são nulas) ou na fronteira do retângulo. Neste problema vamos:
- calcular as derivadas parciais e checar pontos críticos no interior;
- analisar cada aresta do retângulo e os vértices para comparar os candidatos a máximo e mínimo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(passo técnico e importante). As derivadas parciais são:
Um ponto interior
(com
e
) seria crítico se
e
simultaneamente. Da primeira equação
vem
. Mas
não está no interior (é na fronteira em
); além disso
só é zero se
. Conclusões:
- Se
não existem pontos críticos no interior do retângulo (porque ). - Se
então e o único lugar com é (na fronteira), então ainda não há um ponto interior com ambas derivadas nulas dentro do intervalo aberto para . Portanto, para todo caso relevante, os extremos serão atingidos na fronteira do retângulo.
Passo 4
Analisar a fronteira — aresta
. Nesta aresta:
Esta é uma função só de
. Como é
mais constante, ela é decrescente em
e atinge máximo em
e mínimo em
(no intervalo dado). Assim:
- Valor máximo nesta aresta:
. - Valor mínimo nesta aresta:
.
Passo 5
Analisar a fronteira — aresta
. Nesta aresta:
Para
variando em
isso é igual a
menos
, logo novamente máximo em
. Assim:
- Valor máximo nesta aresta:
. - Valor mínimo nesta aresta:
.)
Passo 6
Analisar as arestas verticais — aresta
. Aqui:
que é uma função afim de
. Se
ela é decrescente em
, então máximo em
e mínimo em
. Se
ela é crescente, então máximo em
e mínimo em
. Se
é constante igual a
(mesmo valor para todo
). Resumindo esta aresta:
- Valores extremos em
e com valores e .
Passo 7
Analisar a aresta
. Aqui:
Também é função afim de
. Se
ela é decrescente (começa em
e vai para
), logo máximo em
com
e mínimo em
com
. Se
a monotonicidade inverte. Resumindo: extremos nesta aresta também ocorrem nos vértices
e
com os valores citados.
Passo 8
Comparar todos os valores-candidatos (só vértices e extremos das arestas foram suficientes): os candidatos finais são os quatro valores nos vértices:
Agora comparar conforme o sinal de
.
Caso A —
(caso físico de difusão):
- Ordenando:
é o maior, porque os outros são menores ou iguais a . - O menor é
(pois e ).
Conclusão: máximo global ; mínimo globalem .
Caso B —
:
-
. Não depende de . - Máximo
com
(segmento inteiro ). - Mínimo
com
(segmento ).
Caso C —
(matematicamente possível):
- Agora o termo temporal
é positivo e cresce com . Os maiores valores aparecem em , os menores em . - Comparando vértices, o máximo será
e o mínimo será .)
Passo 9
Resumo final dos resultados (visão prática para prova). Em geral os extremos ocorrem nos vértices; as respostas dependem do sinal de
, com o caso mais comum
dado explicitamente. Pequeno incentivo: é sempre útil verificar derivadas parciais para excluir extremos interiores e depois avaliar a fronteira sistematicamente — é um procedimento rápido na prova.
Resposta
Máximo:
atingido em
quando
(se
o máximo
ocorre para todo
; se
o máximo é
em
).
Mínimo: atingido em
quando
(se
o mínimo
ocorre para todo
; se
o mínimo é
em
).
Mínimo: