Questão 11. Seja u(x, t)=1-x^{2}-2 k t a solução da equação da difusão. Encontre o máximo e o mínimo de u(x, t) no retângulo fechado \{(x, t): 0 \leq x \leq 1,0 \leq t \leq T\}.

Passo 1

O enunciado fornece a função u(x,t)=1-x^{2}-2kt definida no retângulo fechado \{(x,t): 0 \le x \le 1,\;0 \le t \le T\}. O que se pede é: encontrar o máximo e o mínimo de u nesse retângulo (ou seja, os valores máximos e mínimos e onde eles ocorrem). As informações relevantes são:
  • A expressão explícita de u(x,t): u(x,t)=1-x^{2}-2kt.
  • O domínio fechado e limitado: 0 \le x \le 1 e 0 \le t \le T.
  • A constante k aparece no termo temporal; o enunciado não especifica o sinal de k, então serão consideradas as possibilidades de sinal (mas, fisicamente, para difusão costuma-se ter k>0).

Passo 2

Garantia de existência de extremos e estratégia geral (intuição): u é polinomial em x,t, logo contínua no retângulo fechado e limitado; pelo Teorema do Valor Extremo uma função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Os extremos podem ocorrer em pontos críticos interiores (onde todas as derivadas parciais são nulas) ou na fronteira do retângulo. Neste problema vamos:
  • calcular as derivadas parciais e checar pontos críticos no interior;
  • analisar cada aresta do retângulo e os vértices para comparar os candidatos a máximo e mínimo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u (passo técnico e importante). As derivadas parciais são:
\frac{\partial u}{\partial x}=u_{x}=-2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}=u_{t}=-2k.
Um ponto interior (x,t) (com 0<x<1 e 0<t<T) seria crítico se u_{x}=0 e u_{t}=0 simultaneamente. Da primeira equação u_{x}=0 vem x=0. Mas x=0 não está no interior (é na fronteira em x); além disso u_{t}=-2k só é zero se k=0. Conclusões:
  • Se k\neq0 não existem pontos críticos no interior do retângulo (porque u_{t}\neq0).
  • Se k=0 então u_{t}=0 e o único lugar com u_{x}=0 é x=0 (na fronteira), então ainda não há um ponto interior com ambas derivadas nulas dentro do intervalo aberto para x. Portanto, para todo caso relevante, os extremos serão atingidos na fronteira do retângulo.

Passo 4

Analisar a fronteira — aresta \,t=0,\;0\le x\le1. Nesta aresta:
u(x,0)=1-x^{2}.
Esta é uma função só de x. Como é -x^{2} mais constante, ela é decrescente em |x| e atinge máximo em x=0 e mínimo em x=1 (no intervalo dado). Assim:
  • Valor máximo nesta aresta: u(0,0)=1.
  • Valor mínimo nesta aresta: u(1,0)=0.

Passo 5

Analisar a fronteira — aresta \,t=T,\;0\le x\le1. Nesta aresta:
u(x,T)=1-x^{2}-2kT.
Para x variando em [0,1] isso é igual a 1-2kT menos x^{2}, logo novamente máximo em x=0 ) e mínimo em \( x=1. Assim:
  • Valor máximo nesta aresta: u(0,T)=1-2kT.
  • Valor mínimo nesta aresta: u(1,T)= -2kT.)

Passo 6

Analisar as arestas verticais — aresta \,x=0,\;0\le t\le T. Aqui:
u(0,t)=1-2kt,
que é uma função afim de t. Se k>0 ela é decrescente em t, então máximo em t=0 e mínimo em t=T. Se k<0 ela é crescente, então máximo em t=T e mínimo em t=0. Se k=0 é constante igual a 1 (mesmo valor para todo t). Resumindo esta aresta:
  • Valores extremos em (0,0) e (0,T) com valores u(0,0)=1 e u(0,T)=1-2kT.

Passo 7

Analisar a aresta \,x=1,\;0\le t\le T. Aqui:
u(1,t)= -2kt.
Também é função afim de t. Se k>0 ela é decrescente (começa em 0 e vai para -2kT), logo máximo em t=0 com u(1,0)=0 e mínimo em t=T com u(1,T)=-2kT. Se k<0 a monotonicidade inverte. Resumindo: extremos nesta aresta também ocorrem nos vértices (1,0) e (1,T) com os valores citados.

Passo 8

Comparar todos os valores-candidatos (só vértices e extremos das arestas foram suficientes): os candidatos finais são os quatro valores nos vértices:
u(0,0)=1,\quad u(1,0)=0,\quad u(0,T)=1-2kT,\quad u(1,T)=-2kT.
Agora comparar conforme o sinal de k.
Caso A — \,k>0 (caso físico de difusão):
  • Ordenando: 1=u(0,0) é o maior, porque os outros são menores ou iguais a 1.
  • O menor é u(1,T)=-2kT (pois -2kT \le 0 \le 1 e 1-2kT > -2kT).
    Conclusão: máximo global 1 ) em \((0,0); mínimo global -2kT em (1,T).
Caso B — \,k=0:
  • u(x,t)=1-x^{2}. Não depende de t.
  • Máximo 1 ) ocorre para todo \((0,t) com 0\le t\le T (segmento inteiro x=0).
  • Mínimo 0 ) ocorre para todo \((1,t) com 0\le t\le T (segmento x=1).
Caso C — \,k<0 (matematicamente possível):
  • Agora o termo temporal -2kt é positivo e cresce com t. Os maiores valores aparecem em t=T, os menores em t=0.
  • Comparando vértices, o máximo será u(0,T)=1-2kT e o mínimo será u(1,0)=0.)

Passo 9

Resumo final dos resultados (visão prática para prova). Em geral os extremos ocorrem nos vértices; as respostas dependem do sinal de k, com o caso mais comum k>0 dado explicitamente. Pequeno incentivo: é sempre útil verificar derivadas parciais para excluir extremos interiores e depois avaliar a fronteira sistematicamente — é um procedimento rápido na prova.

Resposta

Máximo: u_{\max}=1 atingido em (x,t)=(0,0) quando k>0 (se k=0 o máximo 1 ocorre para todo (0,t),\;0\le t\le T; se k<0 o máximo é u(0,T)=1-2kT em (0,T)).
Mínimo: u_{\min}=-2kT atingido em (x,t)=(1,T) quando k>0 (se k=0 o mínimo 0 ocorre para todo (1,t),\;0\le t\le T; se k<0 o mínimo é u(1,0)=0 em (1,0)).

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