Questão 5 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right). Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Para as verdadeiras, justifique. Para as falsas, dê um contra-exemplo.
(a) Se \operatorname{tr}([T])=5 e \operatorname{det}([T])=6, então T é diagonalizável.
(b) Se \operatorname{tr}([T])=0 e \operatorname{det}([T])=1, então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. O conteúdo necessário é diagonalização de matrizes 2\times2 reais, que se baseia em encontrar os autovalores pela equação característica
\det([T]-\lambda I)=0
e verificar se eles são reais e suficientes para diagonalizar T.

Passo 2

Para (a), temos \operatorname{tr}([T])=5 e \det([T])=6. A equação característica é
p(\lambda)=\lambda^2 - \bigl(\operatorname{tr}([T])\bigr)\,\lambda + \det([T]) =\lambda^2 - 5\lambda + 6.
Resolvendo p(\lambda)=0, achamos
\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = 3.
Como são dois autovalores distintos e reais, concluímos que T é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 3

Para (b), temos \operatorname{tr}([T])=0 e \det([T])=1. A equação característica fica
p(\lambda)=\lambda^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm i,
que não são números reais. Logo, T não possui autovetores em \mathbb{R}^2 e não pode ser diagonalizado sobre \mathbb{R}. Um contra-exemplo explícito é a matriz de rotação de 90^\circ:
R = \begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},
para a qual \operatorname{tr}(R)=0, \det(R)=1 e não existe base real que a diagonalize.]

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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