Questão 5 Seja
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Para as verdadeiras, justifique. Para as falsas, dê um contra-exemplo.
(a) Se
e
, então
é diagonalizável.
(b) Se
e
, então
é diagonalizável.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
em
e pede para verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. O conteúdo necessário é diagonalização de matrizes
reais, que se baseia em encontrar os autovalores pela equação característica
e verificar se eles são reais e suficientes para diagonalizar
.
Passo 2
Para (a), temos
e
. A equação característica é
Resolvendo
, achamos
Como são dois autovalores distintos e reais, concluímos que
é diagonalizável sobre
.
Passo 3
Para (b), temos
e
. A equação característica fica
que não são números reais. Logo,
não possui autovetores em
e não pode ser diagonalizado sobre
. Um contra-exemplo explícito é a matriz de rotação de
:
para a qual
,
e não existe base real que a diagonalize.]
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(b) Falsa.