5^{a} QUESTÃO

Sejam \alpha, \beta e \gamma as raízes da equação x^{3}+6 x^{2}-6 x-3=0.
O valor de (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) é
(A) 12
(B) 18
(C) 27
(D) 33
(E) 42

Passo 1

O enunciado diz que \alpha,\beta,\gamma são raízes da equação
x^{3}+6x^{2}-6x-3=0
e pede o valor de (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha).
O conteúdo aqui é usar as relações de Viète para somas e produtos das raízes de um polinômio cúbico.

Passo 2

Pelas relações de Viète para
x^{3}+a x^{2}+b x+c=0
temos
S_{1}=\alpha+\beta+\gamma=-a, \quad S_{2}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha= b, \quad S_{3}=\alpha\beta\gamma=-c.
No nosso caso a=6, b=-6, c=-3, logo
S_{1}=\alpha+\beta+\gamma=-6, \quad S_{2}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-6, \quad S_{3}=\alpha\beta\gamma=3.

Passo 3

Agora usamos a identidade simétrica
(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = S_{1}\,S_{2} - S_{3}.
Essa fórmula pode ser verificada expandindo os fatores ou lembrando que ela é válida para quaisquer três números.

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:
(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-6)\cdot(-6) - 3 = 36-3 = 33.

Resposta

(D) 33

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