Questão 2. Sejam A um anel comutativo com identidade e I um ideal de A. Definimos o ideal radical de I por
\sqrt{I}=\left\{x \in A \mid x^{n} \in I, \text { para algum } n \in Z_{+}\right\} .
Mostre que
a) I \subset \sqrt{I}.
b) Se P \subset A é um ideal primo, então P=\sqrt{P}
c) Se \mathcal{M} \subset A for ideal maximal, então \mathcal{M}=\sqrt{\mathcal{M}} ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá um anel comutativo com identidade A e um ideal I\subset A. Define-se o ideal radical por
\sqrt{I}=\left\{x\in A \mid x^n\in I\text{ para algum }n\in\mathbb{Z}_+\right\}.
As perguntas são:
a) Mostrar que \;I\subset\sqrt{I}\;.
b) Mostrar que, se P\subset A é um ideal primo, então \;P=\sqrt{P}\;.
c) Mostrar que, se \mathcal{M}\subset A é um ideal maximal, então \;\mathcal{M}=\sqrt{\mathcal{M}}\;. Justificar.
Vou listar também as informações relevantes que temos à mão (sem resolver ainda): a definição de \sqrt{I} dada acima; lembranças úteis que vamos precisar: definição de ideal primo (se ab\in P então a\in P ou b\in P) e definição de ideal maximal (não existe ideal próprio estritamente maior que \mathcal{M}).

Passo 2

Explicação do que significa a definição de \sqrt{I} e observação básica usada em (a). A definição diz que \sqrt{I} contém exatamente os elementos de A que, ao serem elevados a alguma potência positiva, caem em I. Note que o expoente n pode ser 1, 2, 3, …; portanto, se um elemento já está em I, sua primeira potência ( n=1) já está em I. Essa observação será o cerne da prova de (a).

Passo 3

Prova de (a). Seja x\in I. Pela observação do passo anterior, tomamos n=1. Então x^1=x\in I. Pela definição de \sqrt{I}, isso implica x\in\sqrt{I}. Portanto todo x\in I pertence a \sqrt{I}, isto é,
I\subset\sqrt{I}.
(Isto é direto e serve como uma checagem simples: o radical é sempre um ideal que contém I.)

Passo 4

Definição e propriedade chave de ideal primo que usaremos em (b). Um ideal próprio P é primo se, para quaisquer a,b\in A, se ab\in P então a\in P ou b\in P. Intuitivamente, isso significa que P se comporta como o conjunto dos elementos que se tornam zero num domínio íntegro quando passamos ao quociente A/P. Vamos usar a propriedade multiplicativa direta para tratar potências.

Passo 5

Prova de (b) — inclusão \;P\subset\sqrt{P}\;. Isso já é imediato por (a): qualquer ideal contém-se no seu radical, logo P\subset\sqrt{P}.

Passo 6

Prova de (b) — inclusão \;\sqrt{P}\subset P\;. Seja x\in\sqrt{P}. Então existe n\in\mathbb{Z}_+ tal que x^n\in P. Queremos mostrar x\in P. Usamos a propriedade de primalidade por redução da potência: se x^n\in P e n\ge2, então escrevemos x^n=x\cdot x^{n-1}. Como P é primo e x\cdot x^{n-1}\in P, segue que x\in P ou x^{n-1}\in P. Se x\in P já terminamos. Se x^{n-1}\in P e n-1\ge2, repetimos o argumento: x^{n-1}=x\cdot x^{n-2} implica x\in P ou x^{n-2}\in P. Continuando esse processo finito (descendo as potências) chegamos a x\in P ou x^1\in P, mas x^1\in P é exatamente x\in P. Assim necessariamente x\in P. Concluímos \sqrt{P}\subset P.
Juntando as duas inclusões obtemos P=\sqrt{P}. Uma alternativa (mais conceitual) é notar que A/P é um domínio íntegro quando P é primo; se a classe de x em A/P é nilpotente (ou seja, \overline{x}^n=0) então \overline{x}=0, logo x\in P. Mas a prova por redução de potências é bem elementar e suficiente.

Passo 7

Definição e propriedade chave de ideal maximal que usaremos em (c). Um ideal \mathcal{M} é maximal se é próprio e não existe nenhum ideal próprio estritamente entre \mathcal{M} e A. Uma propriedade padrão é que \mathcal{M} é maximal se e somente se o quociente A/\mathcal{M} é um corpo (field). Sabendo que todo corpo é um domínio íntegro (não tem divisores de zero e, portanto, não tem nilpotentes não nulos) temos uma via direta para (c).

Passo 8

Prova de (c). Primeiro, por (a) temos \mathcal{M}\subset\sqrt{\mathcal{M}}. Para a outra inclusão, usemos que \mathcal{M} é maximal, então A/\mathcal{M} é um corpo. Considere a classe \overline{x}\in A/\mathcal{M} de um elemento x\in A. Se x\in\sqrt{\mathcal{M}} então existe n tal que x^n\in\mathcal{M}, isto é \overline{x}^n=0 em A/\mathcal{M}. Mas num corpo não existem elementos não nulos com potência zero: se \overline{x}\neq0 então \overline{x} tem inverso e multiplicando a equação \overline{x}^n=0 pela potência apropriada chega-se a \overline{x}=0, contradição. Logo \overline{x}=0, o que significa x\in\mathcal{M}. Portanto \sqrt{\mathcal{M}}\subset\mathcal{M}. Juntando as inclusões obtemos \mathcal{M}=\sqrt{\mathcal{M}}.
(Observação: como toda ideal maximal é primo, também poderíamos ter aplicado diretamente o item (b). Aqui dei a prova usando o quociente para mostrar explicitamente por que não há nilpotentes não nulos em A/\mathcal{M}.)

Resposta

a) I\subset\sqrt{I}
b) P=\sqrt{P}
c) \mathcal{M}=\sqrt{\mathcal{M}}

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