Questão 6:

Sejam \Gamma a curva parametrizada por
\gamma(t)=(t \cos t, t \sin t), t \in[0,3 \pi]
e
F=\left(x+y, e^{y^{2}}+2 x\right)
calcule \int_{\Gamma} F \cdot d s.
Resposta: \frac{9}{2} \pi^{2}(\pi+1)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A curva parametrizada \gamma(t)=(t\cos t,\,t\sin t), com t\in[0,3\pi].
  • O campo vetorial F(x,y)=\bigl(x+y,\;e^{y^{2}}+2x\bigr).
  • Pede-se calcular \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d s.
Informações extraídas e o que o enunciado pede:
  • A curva parte de \gamma(0)=(0,0) e termina em \gamma(3\pi)=(-3\pi,0).
  • O enunciado pede o valor numérico do integral de linha indicado: \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d s.
  • Observação importante (apenas listando, sem decidir ainda): a notação \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d s é ambígua — pode significar coisas diferentes em textos diferentes (ver passo seguinte). Não há figura adicional.

Passo 2

Explicar a ambiguidade da notação e as interpretações possíveis (sem pedir informação extra):
  • Interpretação A (mais comum em muitos textos): \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d\mathbf{r}, ou seja o integral de linha típico do campo ao longo da curva,
\displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot\gamma'(t)\,dt.
  • Interpretação B (outra notação corrente): o fluxo através da curva (produto escalar com a normal): \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot \mathbf{n}\,ds, que por parametrização se escreve como
\int_{a}^{b}\bigl(Q\,x'(t)-P\,y'(t)\bigr)\,dt,
onde F=(P,Q).
  • Interpretação C (menos provável): integral escalar de uma componente ou alguma outra convenção local; mas as duas primeiras são as usuais.
Vou agora testar a interpretação mais natural para integrais de campos vetoriais: a Interpretação A, e escrever explicitamente o integral paramétrico para ver se é tratável em forma elemental.

Passo 3

Calcular quantidades auxiliares (parametrização e derivadas). Peguei estes itens da parametrização do enunciado.
  • \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=(t\cos t,\,t\sin t).
  • Derivando componente a componente:
x'(t)=\cos t - t\sin t,\qquad y'(t)=\sin t + t\cos t.
  • Módulo da velocidade (aparecerá se for necessário):
\bigl|\gamma'(t)\bigr|=\sqrt{(\cos t-t\sin t)^{2}+(\sin t+t\cos t)^{2}}=\sqrt{1+t^{2}}.
(É um cálculo padrão: os termos mistos em (-2t\sin t\cos t) cancelam.)

Passo 4

Escrever o integrando para a Interpretação A: \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{3\pi}F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
  • Avaliando F na curva (peguei x(t) e y(t) da parametrização):
P\bigl(x(t),y(t)\bigr)=x(t)+y(t)=t(\cos t+\sin t),
Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)=e^{y(t)^{2}}+2x(t)=e^{(t\sin t)^{2}}+2t\cos t.
  • O produto escalar F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é
\bigl(x+y\bigr)\bigl(\cos t-t\sin t\bigr)+\bigl(e^{(t\sin t)^{2}}+2t\cos t\bigr)\bigl(\sin t+t\cos t\bigr).
  • Expandindo um pouco (para ver a dificuldade):
F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=e^{(t\sin t)^{2}}\bigl(\sin t+t\cos t\bigr) + \text{polinômios em }t\text{ e funções trigonométricas}.ôçõé
Em particular aparece o termo
e^{(t\sin t)^{2}}\bigl(\sin t+t\cos t\bigr)
no integrando.

Passo 5

Análise da integrabilidade e conclusão para a Interpretação A.
  • O termo com exponencial e^{(t\sin t)^{2}} multiplica uma combinação trigonométrica \sin t+t\cos t. A primitiva desse termo em termos elementares (funções elementares usuais) não existe conhecida: \displaystyle \int e^{(t\sin t)^{2}}(\sin t+t\cos t)\,dt não tem forma fechada elementar simples. Portanto o integral total \displaystyle \int_{0}^{3\pi} F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt não simplifica de forma óbvia a um polinômio em \pi como o valor que foi fornecido. Isso indica uma das possibilidades:
    1. A notação do enunciado não era a Interpretação A; ou
    2. Há um erro de digitação no campo F (por exemplo e^{y^{2}} deveria ser outra coisa polinomial em y); ou
    3. O enunciado espera algum truque adicional (fechamento de curva, uso de teorema de Green, cancelamentos) que não é explícito.
  • Como checagem rápida: a parte exponencial não desaparece por periodicidade óbvia do integrando ao longo de [0,3\pi]. Logo não há razão para que a integral resulte exatamente no valor polinomial em \pi que você informou.

Passo 6

Verificação da Interpretação B (fluxo normal) e análise.
  • Para o fluxo \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot\mathbf{n}\,ds (ou a forma equivalente \displaystyle \int (Q\,dx - P\,dy)), o integrando paramétrico fica
Q(x(t),y(t))\,x'(t)-P(x(t),y(t))\,y'(t).
  • Novamente aparece o termo e^{(t\sin t)^{2}}x'(t)=e^{(t\sin t)^{2}}(\cos t - t\sin t), que contém a mesma dificuldade exponencial. Não há cancelamento óbvio que elimine a exponencial ao longo de todo o intervalo [0,3\pi].
  • Assim a Interpretação B também conduz a um integral envolvendo a função e^{(t\sin t)^{2}} sem primitiva elementar evidente.

Passo 7

Conclusão lógica e recomendação (sem pedir mais dados).
  • Com os dados tal como estão (campo com e^{y^{2}} e curva \gamma(t)=t(\cos t,\sin t)), ambos os significados naturais de \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d s levam a integrais contendo termos do tipo \displaystyle e^{(t\sin t)^{2}} multiplicados por funções trigonométricas. Esses termos não têm primitiva elementar simples e não se simplificam automaticamente para um polinômio em \pi. Portanto não é possível obter de forma direta e justificada o valor fechado \displaystyle \frac{9}{2}\pi^{2}(\pi+1) a partir do enunciado sem:
    • esclarecer qual interpretação de \displaystyle F\cdot d s foi usada; ou
    • corrigir possível erro de digitação em F (por exemplo, trocar e^{y^{2}} por outra função); ou
    • fornecer um passo adicional do raciocínio pedido (por exemplo, fechar a curva e aplicar um teorema de circulação/fluxo com uma região cuja integral dupla se simplifique).
  • Portanto, com fidelidade ao enunciado que você enviou, não há como derivar de modo correto e completo o valor numérico dado sem informação adicional (interpretação ou correção do F).

Resposta

Não é possível calcular de forma consistente o valor numérico pedido a partir do enunciado fornecido, porque a notação \displaystyle \int_{\Gamma}F\cdot d s é ambígua e, sob as interpretações naturais (integral de linha \int F\cdot d\mathbf{r} ou fluxo \int F\cdot\mathbf{n}\,ds), o integrando contém termos envolvendo e^{(t\sin t)^{2}} que não se reduzem ao valor fornecido sem esclarecer a notação ou corrigir F.

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