Questão 3:Sejam
.Construa um EQ de dimensão
determine uma base para este EQ.
Passo 1
O enunciado dá
e
. Ele pede que eu construa um EQ (um subespaço vetorial) de dimensão
contido em
e que determine uma base para esse subespaço. \n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que é pedido:
- •Construir um subespaço vetorial
tal que . - •Determinar uma base explícita de
.
Passo 2
Calculemos os valores numéricos de
e
para ficar mais claro:
Agora observo uma condição necessária para existir um subespaço de dimensão
em
: a dimensão de
é
. Portanto preciso checar se
. Calculo
e de fato
Logo é possível (não há impedimento dimensional).
Passo 3
Vou escolher um subespaço simples e muito usado: o subespaço gerado por monômios
. Esse é o caminho mais direto porque os monômios são claramente polinômios de grau
quando o expoente é
, e são fáceis de provar linearmente independentes. Para obter dimensão
basta tomar os
primeiros monômios:
. Isso dá um subespaço dentro de
pois
.
Passo 4
Defino explicitamente o subespaço
por
Primeiro verifico que
: todo gerador
tem grau
, então
e, por fechamento por combinação linear, qualquer combinação linear desses está em
. Assim
é realmente um subespaço de
.
Passo 5
Agora mostro que os vetores (polinômios)
são linearmente independentes. Seja uma combinação linear nula:
ou seja, o polinômio
é o polinômio identicamente nulo. Um fato simples sobre polinômios (fácil de justificar: se um polinômio é identicamente zero então todas as suas derivadas avaliadas num ponto, por exemplo em
, dão informação sobre os coeficientes) é que os coeficientes
são todos zero. Uma forma elementar: diferencio
repetidamente e avalio em
. A
-ésima derivada vale
. Como
, todas as derivadas em
são
, logo
para cada
, implicando
. Assim os coeficientes são todos nulos e a combinação é trivial, o que prova a independência linear dos monômios
.
Passo 6
Como os
polinômios
são linearmente independentes e geram
, concluímos que
. Portanto
é um subespaço de
com a dimensão exigida
.
Passo 7
Resumo prático (isto que você poderia escrever rapidamente na prova): construir
como o espaço dos polinômios de grau
(isto é, gerado pelos monômios até
) e usar os monômios como base. Isso é direto, fácil de justificar e ocupa pouco tempo durante a prova.
Resposta
Base de