Questão 3:Sejam m=8+0+5 \mathrm{e} n=8+0+8.Construa um EQ de dimensão m \mathrm{em} P_{n}(\mathbb{R}) \mathrm{e} determine uma base para este EQ.

Passo 1

O enunciado dá m=8+0+5 e n=8+0+8. Ele pede que eu construa um EQ (um subespaço vetorial) de dimensão m contido em P_{n}(\mathbb{R}) e que determine uma base para esse subespaço. \n
Informações relevantes dadas:
m=8+0+5
n=8+0+8
O que é pedido:
  • Construir um subespaço vetorial E\subseteq P_{n}(\mathbb{R}) tal que \dim(E)=m.
  • Determinar uma base explícita de E.

Passo 2

Calculemos os valores numéricos de m e n para ficar mais claro:
m=8+0+5=13
n=8+0+8=16
Agora observo uma condição necessária para existir um subespaço de dimensão m em P_{n}(\mathbb{R}): a dimensão de P_{n}(\mathbb{R}) é n+1. Portanto preciso checar se m\le n+1. Calculo
n+1=16+1=17,
e de fato
m=13\le 17.
Logo é possível (não há impedimento dimensional).

Passo 3

Vou escolher um subespaço simples e muito usado: o subespaço gerado por monômios 1,x,x^2,\dots. Esse é o caminho mais direto porque os monômios são claramente polinômios de grau \le n quando o expoente é \le n, e são fáceis de provar linearmente independentes. Para obter dimensão 13 basta tomar os 13 primeiros monômios: 1,x,\dots,x^{12}. Isso dá um subespaço dentro de P_{16}(\mathbb{R}) pois 12\le 16.

Passo 4

Defino explicitamente o subespaço E por
E=\mathrm{span}\{1,x,x^{2},\dots,x^{12}\}.
Primeiro verifico que E\subseteq P_{16}(\mathbb{R}): todo gerador x^{k} tem grau k\le 12\le 16, então x^{k}\in P_{16}(\mathbb{R}) e, por fechamento por combinação linear, qualquer combinação linear desses está em P_{16}(\mathbb{R}). Assim E é realmente um subespaço de P_{16}(\mathbb{R}).

Passo 5

Agora mostro que os vetores (polinômios) 1,x,x^{2},\dots,x^{12} são linearmente independentes. Seja uma combinação linear nula:
a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{12}x^{12}\equiv 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
ou seja, o polinômio
p(x)=\sum_{k=0}^{12} a_k x^k
é o polinômio identicamente nulo. Um fato simples sobre polinômios (fácil de justificar: se um polinômio é identicamente zero então todas as suas derivadas avaliadas num ponto, por exemplo em 0, dão informação sobre os coeficientes) é que os coeficientes a_k são todos zero. Uma forma elementar: diferencio p repetidamente e avalio em x=0. A k-ésima derivada vale p^{(k)}(0)=k!\,a_k. Como p\equiv0, todas as derivadas em 0 são 0, logo k!\,a_k=0 para cada k, implicando a_k=0. Assim os coeficientes são todos nulos e a combinação é trivial, o que prova a independência linear dos monômios 1,x,\dots,x^{12}.

Passo 6

Como os 13 polinômios 1,x,\dots,x^{12} são linearmente independentes e geram E, concluímos que \dim(E)=13. Portanto E é um subespaço de P_{16}(\mathbb{R}) com a dimensão exigida m=13.

Passo 7

Resumo prático (isto que você poderia escrever rapidamente na prova): construir E como o espaço dos polinômios de grau \le 12 (isto é, gerado pelos monômios até x^{12}) e usar os monômios como base. Isso é direto, fácil de justificar e ocupa pouco tempo durante a prova.

Resposta

E=\mathrm{span}\{1,x,x^{2},\dots,x^{12}\}
Base de E: \{1,x,x^{2},\dots,x^{12}\} (e \dim(E)=13).

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