Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\frac{t-2}{t+2} \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+\ln \left(9-t^{2}\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função vetorial
\mathbf{r}(t)=\frac{t-2}{t+2}\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+\ln\!\left(9-t^{2}\right)\,\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas (lista das três componentes):
\text{componente em }\mathbf{i}:\;\frac{t-2}{t+2},
\text{componente em }\mathbf{j}:\;\sin t,
\text{componente em }\mathbf{k}:\;\ln\!\left(9-t^{2}\right).
O domínio da função vetorial é o conjunto de valores de t para os quais todas as três componentes estão definidas simultaneamente. Nos próximos passos eu vou analisar a definição de cada componente e então tomar a interseção desses domínios parciais.

Passo 2

Analisando a primeira componente \dfrac{t-2}{t+2}. Regra importante: uma função racional \dfrac{p(t)}{q(t)} está definida sempre que o denominador q(t) for diferente de zero. Aqui o denominador é t+2, portanto precisamos de
t+2\neq 0.
Isso implica
t\neq -2.
Exemplo rápido para fixar: a função f(x)=\dfrac{1}{x-1} não está definida em x=1 porque o denominador vira zero — é o mesmo tipo de restrição que temos aqui.

Passo 3

Analisando a segunda componente \sin t. A função seno está definida para todo t\in\mathbb{R}; não impõe nenhuma restrição adicional. Em símbolos:
\text{domínio de }\sin t = \mathbb{R}.í
Exemplo: \sin 0=0,\\ \sin \pi=\;0, etc. Nem preciso excluir pontos por causa do seno.

Passo 4

Analisando a terceira componente \ln\!\left(9-t^{2}\right). Regra importante: o logaritmo natural \ln(x) só está definido para argumentos positivos, isto é, precisamos de
9-t^{2}>0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.

Passo 5

Resolvendo \;9-t^{2}>0\;:
9-t^{2}>0 \iff t^{2}<9.
Tomando raiz quadrada (lembrando que isso dá |t|<3):
|t|<3 \iff -3<t<3.
Portanto o domínio da terceira componente é o intervalo aberto (-3,3). Observação: os pontos t=\pm 3 não valem porque em t=3 ou t=-3 o argumento do logaritmo é zero e \ln 0 é indefinido.

Passo 6

Agora intersectamos os domínios parciais das três componentes:
  • primeira componente: t\in\mathbb{R} com t\neq -2;
  • segunda componente: t\in\mathbb{R} (sem restrição);
  • terceira componente: t\in(-3,3).
A interseção é
(-3,3)\cap\big(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\big).
Como -2 está dentro do intervalo (-3,3), devemos excluí-lo. Logo o domínio conjunto é
(-3,-2)\cup(-2,3).

Passo 7

Verificações rápidas para não esquecer nada:
t=-2\Rightarrow\text{denominador }t+2=0\\ \text{(indefinido)},\quad t=\pm3\Rightarrow 9-t^{2}=0\\ \text{(log indefinido)}.
Para qualquer t em (-3,-2) ou (-2,3) todas as três componentes estão bem definidas (seno funciona, denominador diferente de zero, argumento do log positivo).

Resposta

(-3,-2)\cup(-2,3)

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