Determine o domínio das funções vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função vetorial
Informações relevantes dadas (lista das três componentes):
O domínio da função vetorial é o conjunto de valores de
para os quais todas as três componentes estão definidas simultaneamente. Nos próximos passos eu vou analisar a definição de cada componente e então tomar a interseção desses domínios parciais.
Passo 2
Analisando a primeira componente
. Regra importante: uma função racional
está definida sempre que o denominador
for diferente de zero. Aqui o denominador é
, portanto precisamos de
Isso implica
Exemplo rápido para fixar: a função
não está definida em
porque o denominador vira zero — é o mesmo tipo de restrição que temos aqui.
Passo 3
Analisando a segunda componente
. A função seno está definida para todo
; não impõe nenhuma restrição adicional. Em símbolos:
Exemplo:
, etc. Nem preciso excluir pontos por causa do seno.
Passo 4
Analisando a terceira componente
. Regra importante: o logaritmo natural
só está definido para argumentos positivos, isto é, precisamos de
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.
Passo 5
Resolvendo
:
Tomando raiz quadrada (lembrando que isso dá
):
Portanto o domínio da terceira componente é o intervalo aberto
. Observação: os pontos
não valem porque em
ou
o argumento do logaritmo é zero e
é indefinido.
Passo 6
Agora intersectamos os domínios parciais das três componentes:
- primeira componente:
com ; - segunda componente:
(sem restrição); - terceira componente:
.
A interseção é
Como
está dentro do intervalo
, devemos excluí-lo. Logo o domínio conjunto é
Passo 7
Verificações rápidas para não esquecer nada:
Para qualquer
em
ou
todas as três componentes estão bem definidas (seno funciona, denominador diferente de zero, argumento do log positivo).