Questão
pontos
Considere o PVI:
a) Usando o método de Euler aperfeiçoado (Heun) com passo
, calcule a aproximação de
. Apresente detalhadamente o cálculo dos estágios
e das iterações. (Para
).
b) Deduz(a) a fórmula do método de Euler para o caso
. Mostre que a solução numérica obtida pelo método satisfaz
Para
, determine para quais valores de
essa iteração converge para a solução exata. Mostre também que a solução exata do problema é
c) Em quais situações o método de Runge-Kutta de ordem 2 (Heun) é preferível ao método de Taylor de ordem 2? Explique como se deduzem ambos os métodos, descrevendo as principais etapas de cada
b) Deduz(a) a fórmula do método de Euler para o caso
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede três coisas:
- (a) Usar o método de Euler aperfeiçoado (Heun) com passo
para aproximar no caso . É preciso apresentar detalhadamente os estágios e as duas iterações (de a e de a ). - (b) Deduzir a fórmula do método de Euler para o caso
; mostrar a forma fechada da iteração numérica e, para , determinar os valores de para os quais a iteração converge para a solução exata. Também mostrar que a solução exata (para ) é . - (c) Explicar em que situações o método de Runge–Kutta de ordem 2 (Heun) é preferível ao método de Taylor de ordem 2 e descrever como se deduzem ambos os métodos (passos principais).
Informações relevantes dadas:
, passo
, em (a)
. Vamos calcular as duas iterações com Heun, apresentando
em cada etapa.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Heun (Euler aperfeiçoado) — o que são
e
e por que usamos:
- Temos uma EDO
. O Heun é um método de Runge–Kutta de ordem 2 que pode ser visto como a regra do trapézio explícita: primeiro calculamos a inclinação inicial (previsor) e depois uma inclinação corrigida no ponto previsto. - Definições (para passo
): e a atualização é - Intuição:
é a inclinação no início do passo; é a inclinação no fim do passo estimada por previsão; a média dá uma inclinação melhor que sozinho, o que melhora a ordem para 2.
Agora aplicamos isso à nossa EDO com
:
Passo 3
Primeira iteração: do tempo
até
, com
,
,
.
-
Calcular
no ponto inicial: (Usei.) -
Previsor:
-
Calcular
no ponto : Desenvolvendo: -
Atualização pelo Heun:Substituindo
: Agrupando termos:Simplificando coeficientes: -
Se quisermos uma aproximação numérica de
sem calculadora podemos usar a aproximação pelo polinômio de Taylor para : Então numericamente:
Passo 4
Segunda iteração: do tempo
até
, com
da etapa anterior.
-
Calcular
no início do segundo passo: Substituindo a expressão de: Desenvolvendo: -
Previsor:Substituindo:Agrupando termos (ordens em
): (os coeficientes numéricos vêm do produtoe somas; aqui usei aproximações decimais para simplificar a escrita). -
Calcular
no ponto : Então -
Atualização final para
: Somandoe multiplicando por e somando , obtemos (após agrupar termos em potências de ): Esse polinômio emé a expressão aproximada (com aproximações numéricas para e via Taylor de segunda ordem) da aproximação Heun para . -
Se quisermos um número concreto para um
específico, por exemplo (mesmo que isso seja pedido em parte (b)), substituímos e calculamos: (Comparação rápida: a solução exata parae em seria ; aqui, com , o valor exato difere, e o propósito era mostrar o cálculo do Heun.)
Passo 5
Parte (b) — método de Euler para
: dedução e convergência.
-
Considere a EDO com
: O método explícito de Euler com passodá: -
Aplicando recursivamente:(Observação de índices: dependendo de como se indexa, pode-se escrever
; as duas formas são a mesma recorrência com deslocamento de índice.) -
Mostrando a solução exata (para
):
Com
, fica
.
- Condição de convergência (estabilidade) do esquema de Euler explícito quando queremos que
conforme (como a solução exata faz quando ): é necessário Para obtemos Resolver a desigualdade: Da primeira desigualdade segue e, dividindo por (invertendo sinal), . Da segunda segue e portanto . Portanto: é o intervalo de passos para o qual e, assim, conforme , o que coincide com o comportamento da solução exata que tende a zero quando .
Passo 6
Parte (c) — quando preferir Runge–Kutta 2 (Heun) ao método de Taylor de ordem 2; como se deduzem ambos (principais etapas) — explicação didática e prática.
-
Método de Taylor de ordem 2 — ideia e dedução:
- Partimos da expansão de Taylor em torno de
: - Como
, substituímos: - Para obter
usamos diferenciação da EDO: onde e . Assim: - Requisitos/prós/contras: exige cálculo de derivadas parciais
e e da função — pode ser algebraicamente trabalhoso ou impossível se for complicado; porém é um método de ordem 2 com bom controle de erro local.
- Partimos da expansão de Taylor em torno de
-
Método de Runge–Kutta de ordem 2 (Heun) — dedução e passos principais:
- Heun evita derivadas parciais: usa avaliações de
em pontos diferentes para construir uma aproximação de ordem 2. - Passos: calcular
, prever , calcular e atualizar . - Requisitos/prós/contras: só exige avaliações de
(sem ou ). É fácil de implementar e funciona bem em problemas práticos; é menos oneroso do que Taylor quando ou são complicados. Também preserva a ordem 2.
- Heun evita derivadas parciais: usa avaliações de
-
Quando preferir Heun em vez de Taylor-2:
- Prefira Heun se
for dado numericamente, for complicado, ou se calcular e for difícil ou custoso. Heun requer apenas chamadas a , o que é vantajoso em implementações numéricas e em problemas com complexo. - Prefira Taylor-2 se você tiver uma expressão analítica simples para
e para suas derivadas parciais, e quiser um método com passos de expansão direta (por vezes útil em análise teórica ou quando se dispõe de símbolos e poucas avaliações). Porém, na maioria das aplicações numéricas a simplicidade de implementação do RK2 (Heun) torna-o mais prático.
- Prefira Heun se
Resposta
(a) Aproximação Heun com
e
:
(Usando aproximações
e
; para
isso dá
.)
(b) Para
, o método de Euler explícito é
logo por recorrência
A solução exata é
Para
a iteração converge para a solução exata (tende a
) se e somente se
isto é,
(c) O método de Runge–Kutta de ordem 2 (Heun) é preferível ao método de Taylor de ordem 2 quando calcular
e
é difícil ou custoso, porque Heun só precisa de avaliações de
. Dedução rápida: Taylor-2 vem da expansão de Taylor incluindo
(exige derivadas parciais), enquanto Heun usa
,
,
e
, evitando derivadas parciais e sendo mais simples de implementar.