Questão 1

Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1 \\\ \frac{(x-5)^{2}}{3}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1 \end{gathered}
(a) Diga o nome das curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}.
(b) Determine, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x.
(c) Determine, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo y.
(d) Determine uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro da curva \mathcal{C}_{2}.
(e) Seja r a reta de equação (x, y)=(10,-1)+t(1,0), t \in \mathbb{R}.
(e.1) Determine uma equação cartesiana ou geral de r (ou seja, uma equação do tipo a x+b y=c).
(e.2) Determine, se houver, os pontos de interseção de r \operatorname{com} \mathcal{C}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} com as equações
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1
e
\frac{(x-5)^{2}}{3}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1.
As perguntas são:
(a) Dizer o nome das curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}.
(b) Determinar os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x.
(c) Determinar os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo y.
(d) Determinar uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro de \mathcal{C}_{2}.
(e.1) Dar uma equação cartesiana (do tipo ax+by=c) da reta r dada parametricamente por (x,y)=(10,-1)+t(1,0).
(e.2) Determinar os pontos de interseção de r com \mathcal{C}_{2}, se houver.

Passo 2

Primeiro vamos identificar o tipo de curva. Uma forma padrão de cônicas centradas é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
quando a primeira fração com x é positiva; essa é a equação de uma hipérbole cujo eixo transverso é horizontal. Note que ambas as equações do enunciado têm uma diferença entre dois quadrados igual a 1 e o termo em x tem sinal positivo. Logo ambas são hipérboles (uma centrada em (0,0) e a outra deslocada). Vou agora explicar os parâmetros a, b e c e o que significam: em
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
  • (h,k) é o centro da hipérbole;
  • a é a semi-distância dos vértices ao centro ao longo do eixo transverso (vértices em (h\pm a,k) se o eixo for horizontal);
  • b está ligado à “abertura” e aos assíntotas (assíntotas: y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h));
  • os focos estão em (h\pm c,k) com
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Essa relação c^{2}=a^{2}+b^{2} é uma propriedade padrão das hipérboles na forma acima (analogia com as assíntotas e cálculo das distâncias foco-vertice).

Passo 3

Aplicando o que falei ao caso de \mathcal{C}_{1}:
A equação é
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1,
que está na forma com h=0, k=0. Portanto:
a^{2}=3,\quad b^{2}=4.
Logo
a=\sqrt{3},\quad b=2.
O centro é (0,0). Os vértices (porque o eixo transverso é horizontal) estão em
(h\pm a, k)=(\pm\sqrt{3},0).
Os focos têm coordenadas (\pm c,0) com
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3+4}=\sqrt{7},
logo focos em (\pm\sqrt{7},0).

Passo 4

Resposta da letra (b): interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x. Para isso colocamos y=0 na equação de \mathcal{C}_{1}:
\frac{x^{2}}{3}-\frac{0^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{3}=1.
Multiplicando por 3,
x^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Portanto os pontos de interseção com o eixo x são (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0).

Passo 5

Resposta da letra (c): interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo y. Para isso colocamos x=0:
\frac{0^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{y^{2}}{4}=1.
Isso implica
y^{2}=-4,
o que é impossível para y real. Conclusão: não há interseção real entre \mathcal{C}_{1} e o eixo y.

Passo 6

Agora tratamos \mathcal{C}_{2}. A equação é
\frac{(x-5)^{2}}{3}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1.
Isto é a mesma forma que antes, deslocada com centro (h,k)=(5,-1). Usamos os mesmos a e b porque os denominadores são iguais:
a^{2}=3,\quad b^{2}=4,\quad a=\sqrt{3},\quad b=2.
O valor de c é o mesmo:
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7}.
Logo para \mathcal{C}_{2} o centro é (5,-1), os vértices (eixo transverso horizontal) são
(5\pm\sqrt{3},\,-1),
e os focos são
(5\pm\sqrt{7},\,-1).

Passo 7

Resposta da letra (d): a reta que contém os focos, os vértices e o centro de \mathcal{C}_{2}. Observando as coordenadas do centro, vértices e focos acima, todos têm a mesma coordenada y=-1. Portanto a reta é a reta horizontal
y=-1,
ou, escrita no formato linear ax+by=c,
0\cdot x + 1\cdot y = -1,
ou simplesmente \;y+1=0.

Passo 8

Letra (e.1): a reta r dada por (x,y)=(10,-1)+t(1,0) tem equações paramétricas
x=10+t,\qquad y=-1.
A equação cartesiana (do tipo ax+by=c) é então a mesma que em (d), pois y é constante:
y=-1,
ou seja
y+1=0.

Passo 9

Letra (e.2): interseção de r com \mathcal{C}_{2}. Como r tem y=-1, substituímos y=-1 na equação de \mathcal{C}_{2}:
\frac{(x-5)^{2}}{3}-\frac{(-1+1)^{2}}{4}=1.
Como (-1+1)=0, isso simplifica para
\frac{(x-5)^{2}}{3}=1.
Multiplicando por 3,
(x-5)^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x-5=\pm\sqrt{3}.
Logo
x=5\pm\sqrt{3}.
Os pontos de interseção (em coordenadas cartesianas) são
\bigl(5+\sqrt{3},\,-1\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(5-\sqrt{3},\,-1\bigr).
(se quiser os parâmetros t correspondentes na parametrização de r, lembre que x=10+t, então t=x-10 t=-5\pm\sqrt{3}.)

Resposta

(a) \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} são hipérboles.
(b) (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0).
(c) Não há interseção com o eixo y (nenhum ponto real).
(d) Reta: y=-1 (ou y+1=0).
(e.1) Equação cartesiana de r: y=-1 (ou y+1=0).
(e.2) Pontos de interseção: \bigl(5+\sqrt{3},-1\bigr) e \bigl(5-\sqrt{3},-1\bigr).

Exercícios relacionados