Questão 1
Sejam
e
as curvas planas de equação, respectivamente
(a) Diga o nome das curvas
e
.
(b) Determine, se houver, os pontos de interseção de
com o eixo
.
(c) Determine, se houver, os pontos de interseção de
com o eixo
.
(d) Determine uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro da curva
.
(e) Seja
a reta de equação
.
(e.1) Determine uma equação cartesiana ou geral de
(ou seja, uma equação do tipo
.
(e.2) Determine, se houver, os pontos de interseção de
.
(b) Determine, se houver, os pontos de interseção de
(c) Determine, se houver, os pontos de interseção de
(d) Determine uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro da curva
(e) Seja
(e.1) Determine uma equação cartesiana ou geral de
(e.2) Determine, se houver, os pontos de interseção de
Passo 1
O enunciado dá duas curvas
e
com as equações
e
As perguntas são:
(a) Dizer o nome das curvas e
.
(b) Determinar os pontos de interseção de com o eixo
.
(c) Determinar os pontos de interseção de com o eixo
.
(d) Determinar uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro de .
(e.1) Dar uma equação cartesiana (do tipo ) da reta
dada parametricamente por
.
(e.2) Determinar os pontos de interseção de com
, se houver.
(a) Dizer o nome das curvas
(b) Determinar os pontos de interseção de
(c) Determinar os pontos de interseção de
(d) Determinar uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro de
(e.1) Dar uma equação cartesiana (do tipo
(e.2) Determinar os pontos de interseção de
Passo 2
Primeiro vamos identificar o tipo de curva. Uma forma padrão de cônicas centradas é
quando a primeira fração com
é positiva; essa é a equação de uma hipérbole cujo eixo transverso é horizontal. Note que ambas as equações do enunciado têm uma diferença entre dois quadrados igual a
e o termo em
tem sinal positivo. Logo ambas são hipérboles (uma centrada em
e a outra deslocada). Vou agora explicar os parâmetros
,
e
e o que significam: em
-
é o centro da hipérbole; -
é a semi-distância dos vértices ao centro ao longo do eixo transverso (vértices em se o eixo for horizontal); -
está ligado à “abertura” e aos assíntotas (assíntotas: ); - os focos estão em
com
Essa relação
é uma propriedade padrão das hipérboles na forma acima (analogia com as assíntotas e cálculo das distâncias foco-vertice).
Passo 3
Aplicando o que falei ao caso de
:
A equação é
A equação é
que está na forma com
,
. Portanto:
Logo
O centro é
. Os vértices (porque o eixo transverso é horizontal) estão em
Os focos têm coordenadas
com
logo focos em
.
Passo 4
Resposta da letra (b): interseção de
com o eixo
. Para isso colocamos
na equação de
:
Multiplicando por
,
Portanto os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 5
Resposta da letra (c): interseção de
com o eixo
. Para isso colocamos
:
Isso implica
o que é impossível para
real. Conclusão: não há interseção real entre
e o eixo
.
Passo 6
Agora tratamos
. A equação é
Isto é a mesma forma que antes, deslocada com centro
. Usamos os mesmos
e
porque os denominadores são iguais:
O valor de
é o mesmo:
Logo para
o centro é
, os vértices (eixo transverso horizontal) são
e os focos são
Passo 7
Resposta da letra (d): a reta que contém os focos, os vértices e o centro de
. Observando as coordenadas do centro, vértices e focos acima, todos têm a mesma coordenada
. Portanto a reta é a reta horizontal
ou, escrita no formato linear
,
ou simplesmente
.
Passo 8
Letra (e.1): a reta
dada por
tem equações paramétricas
A equação cartesiana (do tipo
) é então a mesma que em (d), pois
é constante:
ou seja
Passo 9
Letra (e.2): interseção de
com
. Como
tem
, substituímos
na equação de
:
Como
, isso simplifica para
Multiplicando por
,
Logo
Os pontos de interseção (em coordenadas cartesianas) são
(se quiser os parâmetros
correspondentes na parametrização de
, lembre que
, então
dá
.)
Resposta
(a)
e
são hipérboles.
(b) e
.
(c) Não há interseção com o eixo (nenhum ponto real).
(d) Reta: (ou
).
(e.1) Equação cartesiana de :
(ou
).
(e.2) Pontos de interseção: e
.
(b)
(c) Não há interseção com o eixo
(d) Reta:
(e.1) Equação cartesiana de
(e.2) Pontos de interseção: