Sejam
e
as curvas planas de equação, respectivamente
(a) Diga o nome das curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos o nome das curvas
e
. As informações fornecidas são as equações das curvas:
Passo 2
Primeiro vamos lembrar um critério prático e fácil para reconhecer o tipo de cônica a partir da equação geral de segundo grau. A forma geral é
Definimos o discriminante da cônica por
Interpretando
:
- Se
, a cônica é uma hipérbole. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma elipse (ou circunferência, caso especial).
Outra maneira mais direta (quando) é observar os sinais dos coeficientes de e : se tiverem sinais opostos (um positivo e outro negativo), é hipérbole.
Passo 3
Aplicando o critério à curva
. Reescrevemos a equação em forma padrão:
Comparando com
temos
Calculamos o discriminante:
Como
, concluímos que
é uma hipérbole. Outra observação útil: reescrevendo
vemos a forma padrão de uma hipérbole com o termo positivo em
; isso indica que a hipérbole tem eixo transverso vertical (abre para cima e para baixo).
Passo 4
Agora para
a equação dada já está deslocada em relação a
:
Se expandíssemos, os coeficientes de
e
são os mesmos de
e
em
: isto é,
Portanto o discriminante é o mesmo,
, e
também é uma hipérbole. Observação: a presença de
e
mostra que a hipérbole é apenas a de
deslocada, com centro em
.
Passo 5
Resumo prático para a prova: quando você ver uma equação do tipo
e os sinais dos dois termos quadráticos forem diferentes, diga “hipérbole” — ponto. Se quiser, calcule
para confirmar (positivo → hipérbole). Vai dar certo — respire fundo que você já sabe o teste!