Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1 \\\\ -\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1 \end{gathered}
(a) Diga o nome das curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos o nome das curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}. As informações fornecidas são as equações das curvas:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1

Passo 2

Primeiro vamos lembrar um critério prático e fácil para reconhecer o tipo de cônica a partir da equação geral de segundo grau. A forma geral é
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
Definimos o discriminante da cônica por
\Delta = B^{2}-4AC.
Interpretando \Delta:
  • Se \Delta>0, a cônica é uma hipérbole.
  • Se \Delta=0, é uma parábola.
  • Se \Delta<0, é uma elipse (ou circunferência, caso especial).
    Outra maneira mais direta (quando B=0) é observar os sinais dos coeficientes de x^{2} e y^{2}: se tiverem sinais opostos (um positivo e outro negativo), é hipérbole.

Passo 3

Aplicando o critério à curva \mathcal{C}_{1}. Reescrevemos a equação em forma padrão:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}-1=0.
Comparando com Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 temos
A=-\frac{1}{4},\quad B=0,\quad C=\frac{1}{5}.
Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\left(-\tfrac{1}{4}\right)\left(\tfrac{1}{5}\right) = -4\left(-\tfrac{1}{20}\right)=\tfrac{4}{20}=\tfrac{1}{5}>0.
Como \Delta>0, concluímos que \mathcal{C}_{1} é uma hipérbole. Outra observação útil: reescrevendo
\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{4}=1,
vemos a forma padrão de uma hipérbole com o termo positivo em y^{2}; isso indica que a hipérbole tem eixo transverso vertical (abre para cima e para baixo).

Passo 4

Agora para \mathcal{C}_{2} a equação dada já está deslocada em relação a \mathcal{C}_{1}:
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1.
Se expandíssemos, os coeficientes de (x+3)^{2} e (y-2)^{2} são os mesmos de x^{2} e y^{2} em \mathcal{C}_{1}: isto é,
A=-\frac{1}{4},\quad B=0,\quad C=\frac{1}{5}.
Portanto o discriminante é o mesmo, \Delta=\tfrac{1}{5}>0, e \mathcal{C}_{2} também é uma hipérbole. Observação: a presença de (x+3) e (y-2) mostra que a hipérbole é apenas a de \mathcal{C}_{1} deslocada, com centro em (-3,2).

Passo 5

Resumo prático para a prova: quando você ver uma equação do tipo \pm\frac{x^{2}}{a^{2}}\pm\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 e os sinais dos dois termos quadráticos forem diferentes, diga “hipérbole” — ponto. Se quiser, calcule \Delta=B^{2}-4AC para confirmar (positivo → hipérbole). Vai dar certo — respire fundo que você já sabe o teste!

Resposta

\mathcal{C}_{1}: hipérbole.
\mathcal{C}_{2}: hipérbole.

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