Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1 \\\\ -\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1 \end{gathered}
(b) Determine, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x.

Passo 1

O enunciado fornece as curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} com as equações
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1.
A parte (b) pede: determinar, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x. Dados relevantes: a equação de \mathcal{C}_{1} (mostrada acima) e a definição do eixo x no plano cartesiano.

Passo 2

O que significa encontrar os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo x? Significa achar todos os pares (x,y) que pertencem à curva e que também pertencem ao eixo x. Lembrete básico (útil para a prova): o eixo x é o conjunto de pontos cuja coordenada y vale 0. Portanto, ao procurar interseções com o eixo x devemos considerar \;y=0.

Passo 3

Substituímos \;y=0 na equação de \mathcal{C}_{1}. A equação original é
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1.
Com \;y=0 isso fica
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{0^{2}}{5}=1.
Simplificando o termo com 0^{2} (que é 0), obtemos
-\frac{x^{2}}{4}=1.

Passo 4

Agora resolvemos a equação -\dfrac{x^{2}}{4}=1. Multiplicando ambos os lados por 4 (operações legais: multiplicar ambos os membros por mesmo número não nulo),
-x^{2}=4.
Multiplicando por -1,
x^{2}=-4.
Aqui é importante rever um fato elementar e muito usado em provas: para todo número real x temos x^{2}\ge 0 (o quadrado de um real não pode ser negativo). A igualdade x^{2}=-4 exigiria que um quadrado real fosse igual a um número negativo, o que é impossível no conjunto dos números reais. Logo essa equação não tem solução real. (Se estivéssemos no campo dos complexos, as soluções seriam x=\pm 2\mathrm{i}, mas a interseção no plano real não aceita essas soluções.)

Passo 5

Conclusão: não existem valores reais de x que satisfaçam a equação da curva quando y=0. Portanto \mathcal{C}_{1} não corta o eixo x; não há pontos de interseção reais entre \mathcal{C}_{1} e o eixo x. (Intuição geométrica rápida: reescrevendo -\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{5}=1 como \dfrac{y^{2}}{5}-\dfrac{x^{2}}{4}=1, vemos tratar-se de uma hipérbole com eixo transversal vertical, então ela não cruza o eixo x.)

Resposta

Não existem pontos de interseção reais entre \mathcal{C}_{1} e o eixo x.

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