Sejam
e
as curvas planas de equação, respectivamente
(b) Determine, se houver, os pontos de interseção de
com o eixo
.
Passo 1
O enunciado fornece as curvas
e
com as equações
A parte (b) pede: determinar, se houver, os pontos de interseção de
com o eixo
. Dados relevantes: a equação de
(mostrada acima) e a definição do eixo
no plano cartesiano.
Passo 2
O que significa encontrar os pontos de interseção de
com o eixo
? Significa achar todos os pares
que pertencem à curva e que também pertencem ao eixo
. Lembrete básico (útil para a prova): o eixo
é o conjunto de pontos cuja coordenada
vale
. Portanto, ao procurar interseções com o eixo
devemos considerar
.
Passo 3
Substituímos
na equação de
. A equação original é
Com
isso fica
Simplificando o termo com
(que é
), obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a equação
. Multiplicando ambos os lados por
(operações legais: multiplicar ambos os membros por mesmo número não nulo),
Multiplicando por
,
Aqui é importante rever um fato elementar e muito usado em provas: para todo número real
temos
(o quadrado de um real não pode ser negativo). A igualdade
exigiria que um quadrado real fosse igual a um número negativo, o que é impossível no conjunto dos números reais. Logo essa equação não tem solução real. (Se estivéssemos no campo dos complexos, as soluções seriam
, mas a interseção no plano real não aceita essas soluções.)
Passo 5
Conclusão: não existem valores reais de
que satisfaçam a equação da curva quando
. Portanto
não corta o eixo
; não há pontos de interseção reais entre
e o eixo
. (Intuição geométrica rápida: reescrevendo
como
, vemos tratar-se de uma hipérbole com eixo transversal vertical, então ela não cruza o eixo
.)
Resposta
Não existem pontos de interseção reais entre
e o eixo
.