Questāo 4: (a) Sejam A e B matrizes invertíveis. Verifique se AB também é invertível. ( 1 ponto)
(b) Seja B=[4, x+2 ; 2 x-3, x+1]. Suponha que B seja simétrica. Encontre x.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Diz que A e B são matrizes invertíveis e pede para verificar se AB também é invertível.
(b) Dá a matriz B=\begin{pmatrix}4 & x+2 \\[4pt] 2x-3 & x+1\end{pmatrix} e supõe que B é simétrica; pede o valor de x.
Informações relevantes dadas:
  • Em (a): A e B são invertíveis (isto é, existem A^{-1} e B^{-1} tais que A A^{-1}=A^{-1}A=I e B B^{-1}=B^{-1}B=I, onde I é a matriz identidade).
  • Em (b): a forma explícita das entradas de B depende de x e a condição a impor é que B seja simétrica.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “matriz invertível” e algumas propriedades usadas no argumento.
Definição (invertibilidade): Uma matriz quadrada M é invertível se existe uma matriz M^{-1} tal que
M M^{-1}=M^{-1}M=I,
onde I é a matriz identidade (aquela com 1s na diagonal e 0s fora dela). Essa inversa é única quando existe.
Propriedade útil (associatividade): A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para matrizes compatíveis em dimensão vale
(XY)Z = X(YZ).
Isto permite reagrupar produtos sem mudar o resultado.

Passo 3

Construção do candidato a inversa de AB:
Se A e B são invertíveis, proponho como inversa de AB a matriz B^{-1}A^{-1}. Agora verifico que ela funciona multiplicando nos dois lados.
Multiplicação à esquerda:
(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}\bigl(A^{-1}A\bigr)B = B^{-1} I B = B^{-1}B = I.
Aqui usei associatividade para agrupar A^{-1}A e que A^{-1}A=I; depois usei B^{-1}B=I.
Multiplicação à direita:
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A\bigl(BB^{-1}\bigr)A^{-1} = A I A^{-1} = A A^{-1} = I.
Novamente agrupando e usando BB^{-1}=I e A A^{-1}=I.
Como B^{-1}A^{-1} é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de AB, concluímos que AB é invertível e que
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Comentário didático: a ordem dos inversos inverte a ordem do produto original. Isso é natural porque ao “desfazer” primeiro B e depois A precisa-se aplicar B^{-1} antes de A^{-1}, daí a ordem B^{-1}A^{-1}.

Passo 4

Prova alternativa (intuição via determinante para matrizes quadradas):
Se A e B são matrizes quadradas invertíveis então \det(A)\neq 0 e \det(B)\neq 0. Como vale a identidade
\det(AB)=\det(A)\det(B),
segue que \det(AB)\neq 0, logo AB é invertível. Esta é uma demonstração rápida usando determinantes (útil quando se trabalha com matrizes numéricas 2×2, 3×3, etc.).

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Tome A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}4&0\\[4pt]0&5\end{pmatrix}. Então
AB=\begin{pmatrix}8&0\\[4pt]0&15\end{pmatrix}.
Temos A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1/3\end{pmatrix} e B^{-1}=\begin{pmatrix}1/4&0\\[4pt]0&1/5\end{pmatrix}. Calculando
B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1/8&0\\[4pt]0&1/15\end{pmatrix},
que é exatamente (AB)^{-1}. Exemplo simples que mostra na prática a identidade (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.]

Passo 6

Agora resolvo a parte (b). Escrevo a matriz dada explicitamente:
B=\begin{pmatrix}4 & x+2 \\[4pt] 2x-3 & x+1\end{pmatrix}.
Condicional de simetria: uma matriz quadrada é simétrica quando B=B^{T}. Isso significa que as entradas fora da diagonal devem ser iguais, isto é, a entrada (1,2) deve ser igual à entrada (2,1). Portanto impomos
x+2 = 2x-3.]

Passo 7

Resolvo a equação para x:
x+2 = 2x-3 \quad\Longrightarrow\quad 2+3 = 2x - x \quad\Longrightarrow\quad 5 = x.
Verificação rápida: com x=5 a matriz fica
B=\begin{pmatrix}4 & 7 \\[4pt] 7 & 6\end{pmatrix},
cuja entrada (1,2) é 7 e (2,1) também é 7, logo é simétrica como exigido.]

Resposta

(a) Sim. AB é invertível e (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
(b) x=5

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