Questão 3: Notação: M=\left[R_{1} ; R_{2} ; \ldots\right] denota uma matriz de linhas R_{1}, R_{2}, \ldots. Seja A=[1,1,1 ; 2,3,4 ; 5,8,9]. Encontre \operatorname{adj}(A), e, encontre A^{-1}, usando

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]2 & 3 & 4\\[4pt]5 & 8 & 9\end{pmatrix}
e pede duas coisas: encontrar \operatorname{adj}(A) (a matriz adjunta/clássica) e encontrar A^{-1}. Vou listar aqui o que isso significa, sem resolver ainda:
  • Informação dada: os nove elementos da matriz A (já escritos acima).
  • O que se pede:
    • \operatorname{adj}(A), que é a transposta da matriz dos cofatores de A.
    • A^{-1}, a inversa de A, que pode ser obtida por \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A), desde que \det(A)\neq 0.]

Passo 2

Explicação didática do que é determinante, menor e cofator (coisa que vamos usar).
  • Menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. O fator (-1)^{i+j} dá o padrão de sinais: \begin{pmatrix} + & - & +\\[2pt] - & + & -\\[2pt] + & - & + \end{pmatrix}
  • Determinante de A (para 3\times3) pode ser calculado por expansão na primeira linha: \det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e C_{1j} os cofatores correspondentes.
    Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha.]

Passo 3

Calcular os menores e cofatores necessários para a expansão pela primeira linha.
  • Menor M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}. Então M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}=3\cdot9-4\cdot8=27-32=-5.Assim C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-5)=-5.
  • Menor M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}. Então M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}=2\cdot9-4\cdot5=18-20=-2.Assim C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-2)=2.
  • Menor M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}. Então M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}=2\cdot8-3\cdot5=16-15=1.Assim C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot1=1.]

Passo 4

Calcular \det(A) usando os cofatores da primeira linha:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} =1\cdot(-5)+1\cdot2+1\cdot1=-5+2+1=-2.
Portanto \det(A)=-2, que é diferente de zero, então A é inversível e podemos usar \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).

Passo 5

Agora vamos calcular todos os cofatores C_{ij} (todos os 3\times3 elementos), porque a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Já temos C_{11},C_{12},C_{13}. Calculemos os restantes:
  • Para i=2:
    • M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}. Então M_{21}=1\cdot9-1\cdot8=9-8=1,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
    • M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}. Então M_{22}=1\cdot9-1\cdot5=9-5=4,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot4=4.
    • M_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}. Então M_{23}=1\cdot8-1\cdot5=8-5=3,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot3=-3.
  • Para i=3:
    • M_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}. Então M_{31}=1\cdot4-1\cdot3=4-3=1,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1\cdot1=1.
    • M_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}. Então M_{32}=1\cdot4-1\cdot2=4-2=2,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot2=-2.
    • M_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}. Então M_{33}=1\cdot3-1\cdot2=3-2=1,\qquad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=1\cdot1=1.]

Passo 6

Montar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e então transpor para obter \operatorname{adj}(A).
  • Matriz dos cofatores: C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 4 & -3\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
  • A adjunta é a transposta desta matriz: \operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}= \begin{pmatrix} -5 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2\\[4pt] 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular A^{-1} usando \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Como \det(A)=-2, temos fator \dfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}. Então multiplicamos cada entrada de \operatorname{adj}(A) por -\tfrac{1}{2}:
A^{-1}=-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -5 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2\\[4pt] 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{2} & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -1 & -2 & 1\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} -5 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2\\[4pt] 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}
A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{5}{2} & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -1 & -2 & 1\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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