e pede duas coisas: encontrar \operatorname{adj}(A) (a matriz adjunta/clássica) e encontrar A^{-1}. Vou listar aqui o que isso significa, sem resolver ainda:
Informação dada: os nove elementos da matriz A (já escritos acima).
O que se pede:
\operatorname{adj}(A), que é a transposta da matriz dos cofatores de A.
A^{-1}, a inversa de A, que pode ser obtida por \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A), desde que \det(A)\neq 0.]
Passo 2
Explicação didática do que é determinante, menor e cofator (coisa que vamos usar).
Menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. O fator (-1)^{i+j} dá o padrão de sinais:\begin{pmatrix} + & - & +\\[2pt] - & + & -\\[2pt] + & - & + \end{pmatrix}
Determinante de A (para 3\times3) pode ser calculado por expansão na primeira linha:\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e C_{1j} os cofatores correspondentes.
Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha.]
Passo 3
Calcular os menores e cofatores necessários para a expansão pela primeira linha.
Menor M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}. EntãoM_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}=3\cdot9-4\cdot8=27-32=-5.Assim C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-5)=-5.
Menor M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}. EntãoM_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}=2\cdot9-4\cdot5=18-20=-2.Assim C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-2)=2.
Menor M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}. EntãoM_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}=2\cdot8-3\cdot5=16-15=1.Assim C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot1=1.]
Passo 4
Calcular \det(A) usando os cofatores da primeira linha:
Portanto \det(A)=-2, que é diferente de zero, então A é inversível e podemos usar \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Passo 5
Agora vamos calcular todos os cofatores C_{ij} (todos os 3\times3 elementos), porque a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Já temos C_{11},C_{12},C_{13}. Calculemos os restantes:
Para i=2:
M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]8 & 9\end{pmatrix}. EntãoM_{21}=1\cdot9-1\cdot8=9-8=1,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]5 & 9\end{pmatrix}. EntãoM_{22}=1\cdot9-1\cdot5=9-5=4,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot4=4.
M_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]5 & 8\end{pmatrix}. EntãoM_{23}=1\cdot8-1\cdot5=8-5=3,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot3=-3.
Para i=3:
M_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}. EntãoM_{31}=1\cdot4-1\cdot3=4-3=1,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1\cdot1=1.
M_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}. EntãoM_{32}=1\cdot4-1\cdot2=4-2=2,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot2=-2.
M_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}. EntãoM_{33}=1\cdot3-1\cdot2=3-2=1,\qquad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=1\cdot1=1.]
Passo 6
Montar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e então transpor para obter \operatorname{adj}(A).
A adjunta é a transposta desta matriz:\operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}= \begin{pmatrix} -5 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2\\[4pt] 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]
Passo 7
Calcular A^{-1} usando \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Como \det(A)=-2, temos fator \dfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}. Então multiplicamos cada entrada de \operatorname{adj}(A) por -\tfrac{1}{2}: