Questão 2: Sejam as matrizes
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 0 & 9\end{array}\right]
O valor \operatorname{de}(\operatorname{det} A):(\operatorname{det} B) é:
A) 4
B) 3
C) -1
D) -2

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas
A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[6pt] 0 & 5 & 1 \\[6pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[3pt] 0 & 9\end{pmatrix},
pede para calcular \det A, \det B e então a razão \det A : \det B. O conteúdo é determinante de matrizes.]

Passo 2

Para \det A usamos a regra de Sarrus ou expansão de Laplace. Pelo método de expansão na primeira linha:
\det A = 2\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1 \\[3pt] 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 5 \\[3pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 5\cdot1 - 1\cdot2 = 3,
\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot1 - 1\cdot3 = -3,
\det\begin{pmatrix}0 & 5 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix} = 0\cdot2 - 5\cdot3 = -15.
Logo,
\det A = 2\cdot3 \;-\;1\cdot(-3)\;+\;3\cdot(-15) = 6 + 3 - 45 = -36.]

Passo 3

Para \det B, como é 2\times2, vale
\det B = 2\cdot9 - 0\cdot3 = 18.

Passo 4

A razão pedida é
\det A : \det B = \frac{\det A}{\det B} = \frac{-36}{18} = -2.

Resposta

(D) - 2

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