Questão 3: Calcule o determinante abaixo utilizando o teorema de Laplace
M=\left[\begin{array}{rrrr}3 & 4 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}
usando o teorema de Laplace.

Passo 2

O teorema de Laplace para a linha i diz:
\det(M) \;=\;\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,m_{i,j}\,\det(M_{i,j}),
onde M_{i,j} é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.

Passo 3

A terceira linha de M tem zeros em todas as colunas, exceto em j=3. Logo, expandimos por essa linha:
\det(M) =(-1)^{3+3}\,m_{3,3}\,\det(M_{3,3}) =4\,\det(M_{3,3}).

Passo 4

A submatriz M_{3,3} (eliminando linha 3 e coluna 3) é
M_{3,3} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\\\ 5 & 0 & -2 \\\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usamos a fórmula
\det\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei - fh)-b(di - fg)+c(dh - eg)
para calcular \det(M_{3,3}):
\det(M_{3,3}) =3\,(0\cdot3 - (-2)\cdot0)\;-\;4\,(5\cdot3 - (-2)\cdot(-1))\;+\;1\,(5\cdot0 - 0\cdot(-1)) =0 - 4\,(15 - 2) + 0 =-52.

Passo 6

Substituindo em \det(M)=4\,\det(M_{3,3}):
\det(M) = 4 \times (-52) = -208.

Resposta

-208

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