Questão 6. Sejam
operador linear e
autovalor de
.
Mostre que se
, então
é autovalor de
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
sobre o corpo
, um operador linear
e um escalar
tal que
é autovalor de
. Isto significa que existe um vetor não-nulo
com
Queremos mostrar que, para qualquer
, o escalar
é autovalor do operador
, definido por
Passo 2
Pela hipótese de que
é autovalor de
, existe
em
tal que
Então, aplicando o operador
a esse mesmo vetor
, temos
Como
, isso mostra que
é um autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
Portanto, para todo
,
é autovalor do operador
.