Questão 6. Sejam T: V \longrightarrow V operador linear e \lambda \in \mathbb{K} autovalor de T.
Mostre que se \mu \in \mathbb{K}, então \mu \lambda é autovalor de \mu T.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V sobre o corpo \mathbb{K}, um operador linear \;T\colon V\to V\; e um escalar \lambda\in\mathbb{K} tal que \lambda é autovalor de T. Isto significa que existe um vetor não-nulo v\in V com
T(v)=\lambda\,v.
Queremos mostrar que, para qualquer \mu\in\mathbb{K}, o escalar \mu\lambda é autovalor do operador \mu T, definido por
(\mu T)(w)=\mu\,T(w) \quad\text{para todo }w\in V.

Passo 2

Pela hipótese de que \lambda é autovalor de T, existe v\neq 0 em V tal que
T(v)=\lambda\,v.
Então, aplicando o operador \mu T a esse mesmo vetor v, temos
(\mu T)(v) =\mu\,T(v) =\mu\,(\lambda\,v) =(\mu\lambda)\,v.
Como v\neq 0, isso mostra que v é um autovetor de \mu T associado ao autovalor \mu\lambda.

Resposta

Portanto, para todo \mu\in\mathbb{K}, \mu\lambda é autovalor do operador \mu T.

Exercícios relacionados