Questão 6. Sejam T: V \longrightarrow V operador linear e \lambda \in \mathbb{K} autovalor de T.
Mostre que se \mu \in \mathbb{K}, então \mu \lambda é autovalor de \mu T.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:V\to V e um autovalor \lambda de T. Por definição, existe vetor não-nulo v\in V tal que
T(v)=\lambda v.
Queremos mostrar que, para qualquer \mu\in\mathbb{K}, o escalar \mu\lambda é autovalor do operador \mu T.

Passo 2

Aplicando \mu T ao mesmo vetor v\neq0, temos
(\mu T)(v) =\mu\bigl(T(v)\bigr) =\mu(\lambda v) =(\mu\lambda)\,v.
Isso prova que v\neq0 é autovetor de \mu T associado ao autovalor \mu\lambda.

Resposta

\mu\lambda é autovalor de \mu T.

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