Questão: Sendo
um vetor no espaço, determine os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
;
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para determinar vetores
e
tais que
e
Informações relevantes: o produto escalar de dois vetores em
é uma soma de produtos de componentes (ver Passo 2) e uma única equação escalar imposta sobre três incógnitas usualmente admite infinitas soluções (ver Passo 4). A resolução começa a partir da fórmula do produto escalar.
Passo 2
Definição do produto escalar (aula rápida e prática): para dois vetores
e
temos
Propriedade útil para este problema: se
(ou seja,
é múltiplo escalar de
), então
Isto nos permite achar facilmente um vetor paralelo a
que satisfaça a condição de produto escalar.
Passo 3
Vamos usar a propriedade do passo anterior para construir
paralelo a
. Primeiro calculemos
:
Se escolhermos
, então pelo passo 2 temos
. Queremos
, então
Portanto
Cheque rápido (sempre faça na prova):
Passo 4
Observação importante (para entender o espaço de soluções): a condição
para
é uma equação linear:
ou seja
Como temos uma equação e três incógnitas, há infinitas soluções; geometricamente a solução é um plano em
. Podemos escrever a solução geral isolando uma variável. Por exemplo, isolando
:
com
livre. Assim a forma geral é
onde
e
podem ser quaisquer números reais. Qualquer escolha aqui que satisfaça a fórmula dá um
com produto escalar
.
Passo 5
Escolha simples e inteira para
: tome
e
. Então, pelo passo 4,
Logo uma escolha simples é
Cheque:
Pronto — é uma solução fácil de memorizar e calcular sem erro na prova.
Passo 6
Resumo prático para a prova: uma solução obtida pedindo que
seja múltiplo de
(passo 3) dá um vetor pequeno com frações; outra solução simples é escolher componentes inteiras que satisfaçam
(passos 4–5). Você pode usar qualquer par de valores livres para gerar mais soluções quando precisar.