Questão: Sendo u=(0,4,2) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
u \cdot v_{1}=u \cdot v_{2}=4;

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,u=(0,4,2)\, e pede para determinar vetores v_{1} e v_{2} tais que
u\cdot v_{1}=4
e
u\cdot v_{2}=4.
Informações relevantes: o produto escalar de dois vetores em \mathbb{R}^{3} é uma soma de produtos de componentes (ver Passo 2) e uma única equação escalar imposta sobre três incógnitas usualmente admite infinitas soluções (ver Passo 4). A resolução começa a partir da fórmula do produto escalar.

Passo 2

Definição do produto escalar (aula rápida e prática): para dois vetores \,a=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \,b=(b_{1},b_{2},b_{3}) temos
a\cdot b = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Propriedade útil para este problema: se b=\lambda a (ou seja, b é múltiplo escalar de a), então
a\cdot(\lambda a)=\lambda (a\cdot a).
Isto nos permite achar facilmente um vetor paralelo a u que satisfaça a condição de produto escalar.

Passo 3

Vamos usar a propriedade do passo anterior para construir v_{1} paralelo a u. Primeiro calculemos u\cdot u:
u\cdot u = 0^{2}+4^{2}+2^{2}=16+4=20.
Se escolhermos v_{1}=\lambda u, então pelo passo 2 temos \,u\cdot v_{1}=\lambda (u\cdot u)=20\lambda. Queremos 20\lambda=4, então
\lambda=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.
Portanto
v_{1}=\frac{1}{5}u=\left(0,\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).
Cheque rápido (sempre faça na prova): \;u\cdot v_{1}=0\cdot0+4\cdot\frac{4}{5}+2\cdot\frac{2}{5}= \frac{16}{5}+\frac{4}{5}=\frac{20}{5}=4.

Passo 4

Observação importante (para entender o espaço de soluções): a condição u\cdot v=4 para v=(x_{1},x_{2},x_{3}) é uma equação linear:
0\cdot x_{1}+4\cdot x_{2}+2\cdot x_{3}=4,
ou seja
4x_{2}+2x_{3}=4.
Como temos uma equação e três incógnitas, há infinitas soluções; geometricamente a solução é um plano em \mathbb{R}^{3}. Podemos escrever a solução geral isolando uma variável. Por exemplo, isolando x_{3}:
x_{3}=2-2x_{2},
com x_{1} livre. Assim a forma geral é
v=(x_{1},\,x_{2},\,2-2x_{2}),
onde x_{1} e x_{2} podem ser quaisquer números reais. Qualquer escolha aqui que satisfaça a fórmula dá um v com produto escalar 4.

Passo 5

Escolha simples e inteira para v_{2}: tome x_{1}=0 e x_{2}=1. Então, pelo passo 4,
x_{3}=2-2\cdot 1=0.
Logo uma escolha simples é
v_{2}=(0,1,0).
Cheque: \;u\cdot v_{2}=0\cdot0+4\cdot1+2\cdot0=4. Pronto — é uma solução fácil de memorizar e calcular sem erro na prova.

Passo 6

Resumo prático para a prova: uma solução obtida pedindo que v seja múltiplo de u (passo 3) dá um vetor pequeno com frações; outra solução simples é escolher componentes inteiras que satisfaçam 4x_{2}+2x_{3}=4 (passos 4–5). Você pode usar qualquer par de valores livres para gerar mais soluções quando precisar.

Resposta

v_{1}=\left(0,\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5}\right)
v_{2}=(0,1,0)

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